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數學概念的分類、特征及其教學探討
邵光華 章建躍
概念教學在數學教學中具有關鍵地位，一直是數學教學研究的一個主題。當前的課改實踐中，存在忽視數學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調情境化、生活化、活動化的傾向，所以，應更深入地研究概念教學，以豐富概念教學法的知識并用于實踐。
一、數學概念及其分類
數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具。一般地，數學概念來源于兩方面：一是對客觀世界中的數量關系和空間形式的直接抽象；二是在已有數學理論上的邏輯建構。相應地，可以把數學概念分為兩類：一類是對現實對象或關系直接抽象而成的概念，這類概念與現實如此貼近，以致人們常常將它們與現實原型“混為一談”、融為一體，如三角形、四邊形、角、平行、相似等都有這種特性；另一類是純數學抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產物，是一種數學邏輯構造，沒有客觀實在與之對應，如方程、函數、向量內積等，這類概念對建構數學理論非常重要，是數學繼續發展的邏輯源泉。
二、數學概念的特征
20世紀80年代，國外有人提出，數學內容可以分為過程和對象兩個側面。“過程”就是具備可操作性的法則、公式、原理等；“對象”則是數學中定義的結構、關系。數學概念往往兼有這樣的二重性，許多概念既表現為過程操作，又表現為對象結構。如對于“等于”概念，在數與式的運算中具有過程性，它表示由等號前的算式經運算得出等號后的結果的過程指向，在式的恒等變形中蘊涵著“往下繼續算”的操作屬性；而方程中“等于”的意義則不同，它沒有過程指向性，只有結構意義，表示了等號兩邊代數式的一種關系。Sfard(1991，1994)等人的研究表明，概念的過程和對象有著緊密的依賴關系，概念的形成往往要從過程開始，然后轉變為對象的認知，最后共存于認知結構中。在過程階段，概念表現為一系列固定操作步驟，相對直觀，容易模仿；進入對象狀態時，概念呈現一種靜態結構關系，有利于整體把握，并可轉變為被操作的“實體”。
我們認為，關于數學概念特征的上述描述稍嫌抽象，為有利于教師把握，下面對數學概念的特征做更具體的描述。
1．判定特征。概念具有判定特征，指依據概念的內涵，人們便能判定某一對象是概念的正例還是反例。
2．性質特征。概念的定義就是對概念所指對象基本性質的概括，因而具有性質特征。
上述兩個特征從另一個側面表現了“概念的二重性”，判定特征有助于厘清概念的外延，性質特征有助于認識概念的內涵。
3．過程性特征(運算過程或幾何操作過程)。有些概念具有過程性特征，概念的定義就反映了某種數學過程或規定了操作過程。如：“分母有理化”著將分母變形為有理數(式)的操作過程；“平均數”概念隱涵著將幾個數相加再除以個數的運算操作過程；“n的階乘”蘊涵著從l連乘到n的運算操作過程；“向量的加法”概念規定了“形” (三角形法則)的操作過程；等等。
4．對象特征(思維的細胞，交流的語言詞)。概念是一類對象的泛指，如三角形、四邊形、復數、向量等概念都是某類對象的名稱，泛指一類對象，又如復數的模，就是與復數a+bi(a，b∈R)對應的結構式√（a²+b²）。
5．關系特征。有些概念具有關系特性，反映了對象之間的關系，如垂直、平行、相切、異面直線、集合的包含等，都反映了兩個對象的相互關系，具有關聯性、對稱性。這些概念，從靜態角度看是一種結構關系，從變化觀點看則是運動過程中的某種特殊狀態。具有主從關系的概念則反映了相對于另一概念對象而言的對象，具有相依性、滋生性，如三角形的外接圓、角的平分線、二面角的平面角等，都是在其他概念對象基礎上生成的。這些概念反映的都是特殊對象，其特殊性由明確的規定所限制，這些規定也是概念內涵的一部分。
6．形態特征。有些概念描述了數學對象的形態，從形態上規定概念的屬性特征，如三角形、四邊形、三棱錐、四棱臺等概念都具有形態特征，它們給人留下的多是直觀形象，用于判斷時多從形態上先識別，根據形態就可大致判斷是概念的正例還是反例。一般而言，“形如„„的對象叫„„”這類概念都具有形態特征。
三、概念的教學
上述數學概念的多重性，為教學指明了方向。總的來說，教師應在分析所教概念特性的基礎上，選擇適當的素材，設計恰當的問題情境，使學生在經歷概念發生發展過程中，認識概念的不同特征，通過概念的運用訓練，使學生掌握根據具體問題的需要改變認識角度、反映概念不同特征的方法，進而有效地應用概念建構原理和解決問題。
(一)概念教學的目標
概念教學的基本目標是讓學生理解概念，并能運用概念表達思想和解決問題。這里，理解是基礎。從認知心理學看，“理解某個東西是指把它納入一個恰當的圖式”，圖式就是一組相互聯結的概念，圖式越豐富，就越能處理相關的變式情境。數學概念理解有三種不同水平：工具性理解(Instrumental Understanding)、關系性理解(Relational Understanding)和形式性理解(Formal Understanding)。工具性理解指會用概念判斷某一事物是否為概念的具體例證，但并不清楚與相關概念的聯系；關系性理解指不僅能用概念做判斷，而且能將它納入到概念系統中，與相關概念建立聯系；形式性理解指在數學概念術語符號和數學思想之間建立起聯系，并用邏輯推理構建起概念體系和數學思想體系。理解概念是明確概念間的關系、靈活應用概念的前提，否則會產生判斷錯誤，思維就會陷入困境。例如，如果角的弧度概念不明確，就會導致1im sinx/x上理解上的困難：sinx是一個實數，x是一個角度，如何比?更不用說求相關的極限了。
概念學習不僅是理解定義描述的語義，也不僅是能用以判斷某個對象是否為它的一個例，還要認識它的所有性質，這樣才能更清楚地掌握這個概念。從概念系統觀看，概念的理解是一個系統工程，概念學習的最終結果是形成一個概念系統。學生要理解一個數學概念，就必須圍繞這個概念逐步構建一個概念網絡，網絡的結點越多、通道越豐富，概念理解就越深刻。所以，概念的學習需要一個過程，但不是一個單純的邏輯解析過程，“講清楚”定義并不足以讓學生掌握概念。
概念教學不能只滿足于告訴學生“是什么”或“什么是”，還應讓學生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、發展理論或解決問題中的作用。核心概念的教學尤應如此。所以，在概念教學前需要對概念進行學術解構和教學解構。學術解構是指從數學學科理論角度對概念的內涵及其所反映的思想方法進行解析，包括概念的內涵和外延、概念所反映的思想和方法、概念的歷史背景和發展、概念的聯系、地位作用和意義等。教學解構是在學術解構的基礎上，對概念的教育形態和教學表達進行分析，重點放在概念的發生發展過程的解析上，包括對概念抽象概括過程的“再造”、辨析過程(內涵與外延的變式、正例和反例的舉證)和概念的運用(變式應用)等，其中尋找精當的例子來解釋概念是一件具有創造性的教學準備工作。
(二)概念教學的方式
眾所周知，概念的獲得有兩種基本方式——概念形成與概念同化。同類事物的關鍵屬性由學生從同類事物的大量例證中獨立發現，這種方式叫概念形成；用定義的方式直接揭示概念，學生利用已有認知結構中的有關知識理解新概念，這種方式叫概念同化。兩種獲得方式對應著兩類概念及兩種教學方式。
1．概念形成教學方式
新概念是對現實對象或關系直接抽象而成時，常采用概念形成教學方式，即通過創設情境從客觀實例引入，抽象共性特征，概括本質特征，形成數學概念。這種數學化地形成概念的方式可使學生感到數學源于自己周圍生活而備感親切。如數軸的引人，從秤桿、溫度計等實物引入，讓學生認識到它們有如下共同要求：度量的起點、度量的單位、明確的增減方向，根據這些現實模型引導學生抽象出數學模型而形成數軸概念。這種方式遵循了由形象到抽象的思維規律。用此方式教概念，可以先用實物、教具或多媒體展示等作為引導性材料，讓學生直觀感知概念，在充分感知的基礎上再做概括。這里要強調引導學生仔細觀察、防止出現概念類化錯誤(不足或過度)的重要性。
2．概念同化教學方式
新概念是基于數學邏輯建構形成時，常采用概念同化教學方式，即直接揭示概念的定義，借助已有知識進行同化理解。用這種方式教概念，可有不同的引入途徑，需要強調的是應讓學生理解引入新概念的必要性。這種方式其實是通過邏輯演繹進行概念教學。由于是從抽象定義出發，所以應注意及時用典型實例使概念獲得“原型”支持，形成概念的“模式直觀”，以彌補沒有經歷概念形成的“原始”過程而出現概念加工不充分、理解不深刻的缺陷。
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