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殊途同歸──由一道數列題展開的課堂教學反思

作者：家輝培優數學老師——陳怡

數列中有很多探索性的問題，往往對學生的能力要求比較高，其中由一類問題就是子列的問題，從原數列中選取部分數列形成一個新數列，然后讓學生探索新數列的一些性質.這樣的題目很多，技巧性很強，學生往往沒有頭緒,望而卻步.那么選舉一道有代表性的問題，通過不同的視角，不同的方法，進行一題多解，總結背后的數學思想，學生的收獲應該更多.由此我對教材練習冊上的一道題目經行了研究并開展教學活動. 題目:從11111,,,,n,從找出一個新的無窮等比數列，使得該數列的各項的和為.并24827求出該數列的首項與公比.

1

a111,解：可以設數列的首項為a公比為b，則根據無窮等比各項和的知識，,1221b72

則現在的問題就是找到該方程的解,該方程有兩個未知量，屬于不定方程問題,而不定方程的問題不是高中階段的內容，有的方法還需要一點數論的知識.那么怎么來解決該問題呢？學生會怎么考慮呢？在高中階段有沒有合適的辦法解決這個問題呢？充分備好課后，帶著這些疑問并且，在課堂上我和學生進行了如下的對話.

(思路一：猜想) 1

a1學生1:由之后,具體怎么解我不會,但我猜a3,b3,等式成立,因此1b72

a3,b3.

師:能猜也是一種數學水平,那有沒有更靠譜的方法呢?

(思路二：指數對應相等) 1

a111,2a2ab7,又因為72320，生2:由得到a因此ab3,，ab172271b2

即首項和公比都是.

3018對于不定方程，學生一般是沒有思路的，但是能夠想到把式子改寫，然后把7拆成22，

然后用指數對應相等的思想解題，應該說具有一定的想象力和創造力.

師：對式子變形，然后由22aab2320,得到ab3,有想象力和創造性.為什么等式兩邊的指數要對應相等呢？這種解答有依可循嗎？

生：有學生對老師的疑問表示疑惑與不解.

師:我的意思是7除了能寫成22之外，能否表示成其他的形如2230aab的形式？如果

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有的話,那么不是還有其他的解了嗎?

學生點點頭,進行思考，但找不到問題的突破口.

師:如果22=2230aab，a,b都是取自然數N，從等式兩邊的奇偶性來考慮呢？注意到

ab左邊7是奇數，那么22a也是奇數(學生異口同聲)，接下來大家是否有思路了呢?

（思路三:利用等式兩邊的奇偶性相同）

生3:2a,2ab一個偶數一個奇數，因為2是偶數,因此2aab是奇數，而2某個整數方是奇數,

30則上面的指數只有為0.這樣ab得到ab3,所以7只能寫成22沒有其他形式.

師:分析得非常好,這里巧妙地運用了等式兩邊奇偶性相同這個突破口來解決問題. 學生們都點點頭,還沉浸在對這個方法的喜悅中.

但此時又有學生提出來一個更大膽的問題.

生4：那如果這個數是偶數14呢？除了寫成22，還有沒有其他形式呢？好像不能用前面的奇偶性來解決問題了.

師：這個問題提的非常好，同學們大家一起來研究一下這個問題！

即2222的解.

學生思考，沒有頭緒.

師：這四個數中哪個指數是最小的？學生回答1.

師：現在這4個數都是偶數，能不能把它轉化成有奇數的形式？

生5：左右兩邊同除以2，則上式變為212

題了，因此a4,b2.

師：把不熟悉的問題，變成我們熟悉的問題，體現了回歸的思想.由前面兩個問題，同學們能不能把這個問題推廣? 得到一個更一般的結論？

學6：若2222(a,b,m,nN),則必有am,bn.

師:這個問題比較抽象， 這里可以用反證法的思想證明.我們一起來板書過程.若abmn13a141ab412b1，這個問題就變成了前面一個問

am,bn,不防假設a是這四個數中最小的一個，則兩邊同除以2a,得到

12ba2ma2na,等式的左端是一個奇數，等式的右端是一個偶數，矛盾，因此am,bn.本解法中借鑒了前面的處理方式，還體現了減少變量的處理方式.

（思路4：從整數素因數分解的角度）

師：剛才22aab7得到問題的解本質上是一種對應相等的解法.如果我們把這個式

aab子改寫，是否可以得到其他的解決問題的方法呢？譬如22

邊同時乘以2，得： b7,化成整數形式，即兩

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2ab2a7*2b，你能從這里得到問題的答案嗎？

學生思考沒有頭緒.

師：等式右邊是一些素數的乘積，可以看成是一個整數的素因數分解….

生7：把等式左邊提取2，得到2a(2b1)72b，把左右兩端看成兩個相同整數的數因數分解，從等式兩邊素因子2看，奇數中沒有因數2，則ab,就可得到a

2b17,即得到ab3.

師：這位同學反應很快，把等號兩邊看成兩個相同的整數，那么兩者應該具有相同的素因數分解.

（思路5：變量之間的相互關系）

師：有的同學把原式化成711,這里有兩個變量a,b.我們同學在高中接觸的最多的就2a2b

是函數，函數可以由一個變量的范圍去求另一個變量的范圍呢？在這里同學們是否有所啟發呢？

學生思考.

師：這里11,bN(0,]之間，那么…. 的范圍在2b2

71[,1),aN，那么a只能取3.從而b3. a22生7：:計算得到

師：非常好.從一個變量的范圍去求另一個變量的范圍其實體現的是一種函數的思想. 學生點點頭.

（思路6:從整除的觀點)

2a

師：有同學把原式化成2，這里同學們有沒有辦法處理呢？ 72ab

生8：左邊是一個整數，右邊也應該是整數.

師：正確，但現在右邊是什么形式？

生8：分式！

師：那說明什么問題？

生8：2能被72整除,也就是說72是2的一個因數.

師：然后呢？

生8：沒有思路了，我再想想. aaaa

2a7a1a生9：可以考慮把等式改寫為2a因此27能被7整除，所以只能去2727b

7，-7,1，-1四個值，其中只有27=1時，才有正整數解3，因此ab3. a

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師：思路清晰.這位同學采用分離變量法，把分子由一個變量變成一個常數，再用整除的性質就得到問題的解.這也是高中階段我們的常用方法.

老師小結：

本節課通過對一個等式進行變形，來解決一個不定方程問題.

1.22aab2320可以通過奇偶分析.

abb2(21)722．從兩個整數的素因數角度分析.

2a7213. 2a72a7從整除的角度進行分析. b

71b1,a 24．2從兩個變量之間的相互關系進行分析.

課后反思：

本節課通過一道練習冊上的數學題，問題本身不難理解，但是問題的解決絕非簡單. 那就需要一步步地引導學生，引導學生的思路，鼓勵學生大膽地發言.對于這道具有探索性價值的問題，我從不同的知識，運用不同的方法，多樣的視角解決問題.學生在思考問題的同時，不僅僅懂得了數學不同知識能解決相同的問題，更收獲了一份對待數學的態度---嚴謹地思考、靈活地運用知識以及對數學的敬畏. 殊途同歸！

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