幾何體的補形要圍繞著已知條件來進行，通常策略是把棱錐補成棱柱，把臺體補成錐體，把三棱錐補成四棱錐，把三棱柱補成四棱柱，把不規則幾何體補成規則幾何體，補同樣幾何體等。
一、棱錐補成棱柱
例1、一個四面體的所有棱長都為
，四個頂點在同一球面上，則球的表面積為
A. 
B. 
C. 
D. 
分析：正四面體可看作是正方體經過切割而得到，因而構造一個棱長為1的正方體ABCD
，則四面體
就是棱長為的正四面體，而正方體的外接球就是四面體的外接球，又正方體的對角線長就是球的直徑，易知對角線長度為
，故球表面積
。
總結：對棱長全相等的正四面體通常把它補成正方體。若是相對棱長相等的四面體，則可考慮把它補成長方體。
例2、如圖1，在底面是直角梯形的四棱錐
中，∠ABC=
，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
。
（1）求四棱錐的體積；
（2）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。
解：（1）解答略。
（2）以SA為棱，構造正方體AECB-SFGH，如圖2，分別取棱SF、HG中點M、N，連結DM、MN、SN、ND，設ND與SC相交于O，連接MO。
則有面MDN∥面SAB，且SM⊥面MDN，
所以所求的二面角等于二面角S-DN-M。
在正方體AECB-SFGH中，△NSD與△NMD都是等腰三角形，所以SO⊥DN，
MO⊥DN，所以∠SOM是二面角S-DN-M的平面角。又MO
SB=
，SM=，所以
，故所求二面角的正切值是。
總結：從一頂點出發的三條棱互相垂直的錐體通常可考慮把它補成長方體或正方體。
二、三棱柱可補成四棱柱
例3 已知斜三棱柱的側面
與平面ABC垂直，∠ABC=，BC=2，AC=
，且
，
，求點C到側面
的距離。
解：把斜三棱柱ABC
補成如圖3所示的平行六面體，設所求的距離為d，則d也是平面
與平面
間距離，作
于點D，作
于點F，因為，
，，所以
，又∠ABC=，BC=2，所以
，因側面與底面ABC垂直，于點D，所以
，又
，知AB⊥面
，因而AB⊥ED，又∠ABC=，所以DE∥BC，D為AC中點，且
，故
，而
。
所以
。
總結：本例通過斜三棱柱補成四棱柱，從而達到把線面距離轉化為面面距離，再通過等積變換達到簡化解題之目的。
三、棱臺補成棱錐
例4、如圖4，三棱柱ABC中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面
將三棱柱分成體積為
、
的兩部分，那么
等于多少？
解：延長
到
，
到
，
到
，且
，
，
，則得三棱柱
，且
，延長
、
，則
即有三棱錐
。
因為
，所以
，又
。
所以
。
故
。
總結：本題通過把棱臺補成棱錐，以棱錐
為輔助幾何體，利用它與棱柱ABC
及棱臺
的關系進行變換。
四、補相同幾何體
例5、長方體
中，AB=，AD=1，
，求異面直線
與
所成的角。
解：如圖5，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面
的長方體
，連結BF，則∠
為異面直線
與
所成的角，而
，AD=1，。
連結
，在△中，BF=
，
，
，由余弦定理得
，故與所成角為
。
總結：補相同幾何體之目的在于平移相關直線。
五、不規則幾何體補成規則幾何體
例6、如圖6，多面體的底面是邊長為l的正方形，上面的棱平行于底面，其長為
，其余棱均為l，求這個多面體的體積。
解：如圖7，作以為棱長的正四面體ABCD，連結AC、AD、BC、BD中點組成的四邊形為正方形即為多面體的底面（因正四面體的對棱互相垂直），這個正方形所在平面把四面體分成兩個全等的多面體，故
。
歡迎轉載：http://www.kanwencang.com/xuexi/20170107/83123.html
文章列表
留言列表
