IT工程師數位筆記本

數學狂想曲(一)——搞笑圖片的數學原理,歐拉公式,傅里葉變換。搞笑圖片的數學原理。

這是一個在各論壇流傳已久的圖片。這個題目的描述雖不復雜，但僅憑大學本科的高等數學，實際上是搞不定這個問題的。

首先需要明確的是，上圖中的被積函數1?cosxx2的原函數不是初等函數，因此無法使用牛頓-萊布尼茨公式，求解該積分值。

它的解法其實圖片中已經給出了線索，那就是傅立葉變換的能量積分公式。

以下是推導步驟：

利用半角公式進行變換。

由半角公式：

2sin2x2=1?cosx

可得：

1?cosxx2=2?sin2x24?x24=12(sinx2x2)2

查常用函數的傅立葉變換表，可得：

代入能量積分公式，可得：

∫+∞?∞(sinx2x2)2dx=2π∫+∞?∞(rect(t))2dt=2π?1

因此：

∫+∞?∞1?cosxx2dx=12?2π=π

實際上，這類積分都是Dirichlet積分的變種，解法也不止一種。

參見：

http://wenku.baidu.com/view/bb9c8ffe910ef12d2af9e71a.html

http://wenku.baidu.com/view/1b47c415cc7931b765ce1547.html

下面回到原題，何為“能量積分”呢?

由電學的功率公式和歐姆定理可得：

W=UI=U2R=I2R

可見，無論f(t)表示電壓U，還是表示電流I，[f(t)]2都和功率成正比，即∫[f(t)]2dt和能量成正比。

傅立葉變換的能量積分公式的物理意義是：同一信號的時域能量積分等于它的頻域能量積分。通俗的說就是一個信號的能量，既可以看作是一段時間內信號能量的總和，也可看作是該信號各個頻率分量的能量總和。

在歷史上，該公式由Marc-Antoine Parseval于1799年發現，最初主要用于研究復變函數，后來才應用到傅立葉變換和信號處理領域。

它的更一般的描述為：一個信號所含有的能量(功率)恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量(功率)之和。

注：Marc-Antoine Parseval des Chênes，1755～1836，法國數學家。曾5次參選法國科學院院士，但都落選了。

歐拉公式

由于歐拉大神的貢獻很多，數學上以其命名的公式也有很多，而且知名度都不低。日常使用時，如果不以領域做區分，人們根本就不知道談論的是哪個歐拉公式。

這里主要討論復變函數領域的基石——歐拉公式：

eix=cosx+isinx

自然對數e

在討論歐拉公式之前，首先要理解一下自然對數e的含義。

推薦閱讀以下文章：

https://www.zhihu.com/question/20296247/answer/29370489

這里對上文中的要點做一個摘要。

假設你在銀行存了1元錢(下圖藍圓)，很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%!

銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年后銀行付給你1元利息(綠圓)，存款余額=2元

銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款余額=2.25元

假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的余額≈2.37元

假設銀行人品爆發，一年365天，愿意天天付利息，這樣利滾利的余額≈2.71456748202元

假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的余額≈2.7182817813元

這個數越來越接近于e了!

哎呀!費了半天勁也沒多掙幾個錢啊!

對!1元存1年，在年利率100%下，無論怎么利滾利，其余額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，即：

e=limn→∞(1+1n)n

自然對數的研究歷史

上面例子的體例，和現行教科書類似，都是直接以極限方式定義e。然而，這并不是自然對數在歷史上的研究路徑。

從利息出發的復利計算，或者說求高次冪運算，在歷史上催生了最早的對數表(1614年)。然而，這個問題本身和e并無直接關聯，使用常用對數同樣可以求解復利問題。

真正催生自然對數e的是對數表的編制過程。

對于那時期的人們來說，編制對數表是件巨大的工程，常需要花費數學家數年，甚至數十年的時間。

在大量的實踐中，人們發現采用(1+1n)n,n?0為底，可以很大程度的節省計算量。

事實上，最早的幾個對數表的作者中，納皮爾采用(1+1107)107的倒數為底，而比爾吉采用(1+1104)104為底。這兩個數分別是1e和e的近似值。

從e到歐拉公式

早期的對數表作者雖然已經不自覺的享受e的好處，然而他們并沒有明確發現或定義e。

e的定義有賴于微積分的發展。

十七世紀上半葉是微積分的萌芽時期，也可稱為前牛頓-萊布尼茨時期。這里所提到的數學家，實際上只比牛頓、萊布尼茨，早一到兩代人。

比如費馬(Pierre de Fermat)在1636年之前，就知道：

∫a0xndx=an+1n+1,n≠?1

于是人們自然會去思考：

∫a01xdx=?(1)

兩個耶穌會教士Grégoire de Saint-Vincent和Alphonse Antonio de Sarasa發現：

∫a01xdx=klogy

這個發現表明，y=1x曲線下的面積和y的對數成正比。

William Oughtred認為，如果采用合適的數為底的話，就可以約去比例因子k。從而上式可變為：

∫a01xdx=lnx

他將這樣形式的對數，稱為自然對數。這實際上就是(1+1n)n節省計算量的原因。

William Oughtred，1575~1660，英國數學家。他對數學符號的發展產生很大的影響，現行的大于、小于符號就是他的發明。

到了John Bernoulli時代，積分問題擴展到如下形式：

∫dxax2+bx+c(2)

顯然，這類問題可以通過配方換元法，轉換成公式1的形式。然而，其中的要害在于，求解方程ax2+bx+c=0，而這個方程的解，有可能為復數。

出于解方程的需要，John Bernoulli系統研究了limn→∞(1+1n)n的性質，并認為它是一個重要的常數。這個思想明顯影響了他的學生Euler。

除此之外，在求解公式2的特例：

dxb2+x2(3)

John Bernoulli發現，可以令x=?1???√b(t?1)/(t+1)，從而上式變為：

?dt?1???√?2bt(4)

公式3的積分是arctan，而公式4的積分是一個虛數的對數。利用這種方法，可以建立三角函數和虛數對數之間的關系。

這里需要指出的是，John Bernoulli對于復數的理解仍停留在Cardano的水平，這里的虛數對數和后面提及的復數指數、復數對數在內涵上是不同的，僅僅是種解方程的技巧而已。

1740年，Euler發現y=2cosx和y=e?1√x+e??1√x是同一個微分方程的解，因此它們應該相等。

1743年，Euler進一步指出：

cosx=e?1√x+e??1√x2,sinx=e?1√x?e??1√x2?1???√

最后，在1748年，Euler指出：

eix=cosx+isinx

虛數符號i雖然也是Euler的發明，但那是1777年以后的事情了。這里用的是現代的表示方法。

這個結果最早是Roger Cotes于1714年發現的，Euler算是重新發現。

從牛頓到John Bernoulli、Euler，無窮數列成為當時數學家的一項工具。上述等式中很多都是基于函數的無窮數列展開式的性質得出的。

但與現在主要采用泰勒展開式不同，當時更知名的展開公式是牛頓發明的二項式定理，泰勒展開式用的并不多。

復變Euler公式

Euler時代，人們雖然對于復數的性質做了頗多的探索，但仍難以逃脫“復數是解方程的技巧”的束縛。這主要體現在兩個方面：

1.盡管Euler晚年已經有復平面的概念，但他對復數的幾何意義研究甚少。在他看來，為復數這種因解代數方程而引入的技巧，提供一種幾何解釋，是一件不太自然的事情。

2.復數的實部和虛部是分開處理的，用途局限于求解實變量微積分。最典型的例子就是，Euler時代的Euler公式，其自變量x是實數。

之后，隨著復平面、復數的向量表示逐漸被人接受，人們開始傾向于接受復數是一種數，而不僅僅是一種解方程的技巧。

在復數的系統化中，做出最大貢獻的，當屬Augustin-Louis Cauchy。

具體到Euler公式，Cauchy針對復變函數的特性，定義了如下規則：

f(z)為一復變函數，且滿足：

1.f(z)在復平面內處處解析。

2.f′(z)=f(z)。

3.當Im(z)=0時，f(z)=ex，其中x=Re(z)。

最終符合這一條件的函數為：

ex(cosy+isiny)

因此，復變Euler公式為：

ez=ex(cosy+isiny)

可見，與原始的Euler公式不同，復變Euler公式不是證明出來的，而是定義出來的。

總結

1.Cardano解三次方程發明虛數。

2.高次冪運算催生對數表。

3.對數表的編制過程中，發現了e。

4.Euler根據無窮數列展開式，發現Euler公式。

5.Cauchy定義了復變Euler公式。

參考：

《古今數學思想》

《不可思議的e》

傅里葉變換

f^(ξ)=∫+∞?∞f(x)e?2πixξdx

傅里葉變換是最基本的頻域變換，這里不再贅述，只是提供一些有意思的圖示。

正弦波的疊加(傅里葉級數)：

時域、頻域、相位：

傅里葉級數與傅里葉變換：

歐拉公式：

歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的余弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。

正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。

參考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

一道證明題

設A、B、C為任意可數有限集合，則

size(A?C)≤size(A?B)+size(B?C)

其中size(X)表示集合X中的元素個數。

證明：

A?C={x|x∈A∩x?C}={x|x∈A∩(x∈B∪x?B)∩x?C}={x|(x∈A∩x?B∩x?C)∪(x∈A∩x∈B∩x?C)}?{x|(x∈A∩x?B)∪(x∈B∩x?C)}=(A?B)∪(B?C)

又因為：size(X∪Y)≤size(X)+size(Y)，所以

size(A?C)≤size((A?B)∪(B?C))≤size(A?B)+size(B?C)

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