IT工程師數位筆記本

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
    lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))

plt.hist(x, 50)
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("count")
plt.show()

另一個辦法是根據群體來計算群體參數(population parameter)，比如群體的平均值和方差。這些參數用一個單一數字來代表群體某一方面的信息。群體平均值(population mean)可以反映群體總體狀況。它的定義如下：

紅 黃 藍
1  1  1
2  1  0
2  0  1
1  2  0
0  2  1
1  0  2
0  1  2
0  0  3
0  3  0
3  0  0

每種情況下，[$X_1, X_2$]都會有一種特定的概率分布。

為了研究方便，統計中經常采用理想化的抽樣方法，也就是所謂的簡單隨機抽樣（simple random sampling）。簡單隨機抽樣中，[$X_1, X_2, ..., X_n$]相互獨立，并且有相同的分布(iid random variables)。簡單隨機抽樣產生的樣品被稱為隨機樣品（random sample）。值得注意的是，在上面抽小球的例子中，盡管[$X_1$]和[$X_2$]有相同的分布，但兩者之間不獨立，所以并非簡單隨機抽樣。在實際操作上來說，抽樣大部分是不重復的。當某個成員被抽中時，會影響到其他成員被抽中的概率，很難讓成員取值相互獨立。不過，當樣品大小遠遠小于群體大小時，可以近似地認為是隨機抽樣。

樣品統計量

建立在樣品之上，還有一個簡單而重要的概念，就是樣品統計量(sample static)。我們知道，樣品成員的取值構成了一組隨機變量[$X_1, X_2, ..., X_n$]。所謂的樣品統計量，就是定義在這組隨機變量上的函數，即

$$sample\ static=T(X_1, X_2, ..., X_n)$$

通過之前在概率論中的學習，我們知道隨機變量的函數也是隨機變量。因此，樣品統計量也是有一定概率分布的隨機變量。當[$X_1, X_2, ..., X_n$]的分布確定時，樣品統計量的分布也就確定了下來。樣品平均值和樣品方差都是常見的樣品統計量：

$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$

$$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$$

應該注意到，樣品統計量和群體參數之間的不同。樣品統計量是一個隨機變量，而群體參數卻是一個具體的數字。但兩者之間又有聯系。對于隨機樣品來說，如果它來自的群體平均值為[$\mu$]、方差為[$\sigma^2$]，那么可以證明：

$$E(\overline{X})=\mu$$

$$E(S^2)=\sigma^2$$

當然，這也并非巧合。樣品統計量只是定義在樣品上的函數，所以可以靈活地選擇形式。統計學家有意設計了樣品統計量的形式，以便于它們的期望正好等于某些群體參數。這能為很多統計處理帶來便利。