time:2015年10月06日 星期二 12時14分51秒

# opencv筆記5:頻域和空域的一點理解

空間域和頻率域

傅立葉變換是f(t)乘以正弦項的展開，正弦項的頻率由u(其實是miu)的值決定。因為積分后左邊剩下的為一變量是頻率，所以我們說傅立葉變換域是頻率域。
（《數字圖像處理》岡薩雷斯，中文第三版P128）

當變量t用于說明圖像時，我們一般將變量t的域稱為空間域。

按《圖像處理》（章毓晉）的理解，首先是認同模板操作的，然后借助卷積定理，將模板操作轉化為傅立葉的乘積，也就是圖像的傅立葉結果F(u,v)與轉移函數H(u,v)相乘。

這個方向上看是OK的，無論是推導證明，還是物理意義。但是反過來呢？圖像的傅立葉F與轉移函數H相乘，這本身有什么意義嗎？

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并不需要考慮頻率域中傅立葉F和轉移函數H相乘的含義。我們就從模板操作考慮就好了。模板操作，就是說用模板框定的范圍內的像素點，來更新當前點的灰度值。
更性的時候，有個問題：為什么（空間域的）高斯濾波又叫高斯模糊？所謂模糊不就是平滑的意思嗎？平滑和銳化是相對的，平滑可以理解為“去除高頻分量”，這不就是在說低通濾波嗎？也就是(模糊<=>平滑<=>去除高頻分量<=>低通濾波)，這幾個概念是等價的。那么，高斯濾波為什么算是低通濾波呢？

再觀察幾個其他的空間域濾波模板，比如平均模糊，就又一個更大的疑問：模板矩陣中元素都為正數，這是低通濾波（平滑、模糊操作）的特性嗎？

是的。But why?這可以從頻率域相關公式推導出來：頻率域的高斯低通濾波器H(u)，用反傅立葉變換得到的空間域相應的低通濾波器h(x)，發現它們的取值都是正的。因此，使用一個全部帶正系數的模板就可以在空間域中實現低通濾波。
同時還有另一個結論：空間域模板尺寸越大，模糊的就越厲害。
（具體細節，參考岡薩雷斯《數字圖像處理》第三版中文翻譯本，P167~168）

類似地，用兩個高斯函數做差，其結果是一個高斯高通濾波器H(u)，用反傅立葉變換得到的空間域相應的低通濾波器h(x)，觀察h(x)圖像發現中間為正，兩邊是負的。這說明：頻域空間高通濾波器對應的空間域高通濾波器的模板，其系數是：錨點（也就是中心點）是正的，其他點是負的或者是0（4鄰域和8鄰域還是有點不同的）

我認為看頻域濾波的目的，就是了解以上兩條結論。

當然，上述兩條結論的推導中，還有點小疑問。為什么高斯函數它就是低通濾波器？
因為是H(u)和F(u)相乘，所以觀察H(u)的圖像就好了。發現低通濾波的H(u)圖像，都是中間有隆起，兩邊衰減。那么相乘的效果就是，中心附近的F(u)會被放大（其實不會放大，因為H(u)中心取值都是1，其他地方都小于1）、保留，就算是衰減，也是從中心往四周衰減的。也就是說，距離H(u)的中心越遠，衰減越厲害。那么這個距離，和頻率是什么關系？

前面看到，u表示頻率。這里其實圖像是二維的，準確講應該是使用H(u,v)和F(u,v)，即u,v都是頻率。那么(u,v)元組之間的大小關系，就使用距離來衡量了，也就是“點到點之間的距離”，那么所謂“低頻”就是指“那些到中心點(u0,v0)的距離小的點(u,v)”，這些(u,v)點對應的傅立葉函數值F(u,v)，是需要保留的低頻分量。

ref:《數字圖像處理》岡薩雷斯，中文第三版