IT工程師數位筆記本

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例2.李紅三天看完一本書，第一天看了全書的2

下全書的未看。這本書共有多少頁?

5

[思路點撥]

3

，第二天看了24頁，還剩10

這道題中有一個具體量“第二天看了24頁”，要正確找出24頁所對應的233

分率。“還剩下全書的未看”，第一天看了全書的第二天就看了51010求出這本書的總頁數。

完全解答： [試一試]

1

1.電腑公司要修一批電腦，已經修了這批電腦的，再修24臺正好修了這

3批電腦的一半。這批電腦有多少臺?

12

2.建筑隊三天修好一條馬路，第一天修了全長的，

45第一天比第二天少修90米，這條馬路全長多少米?

[想想做做]

2

1.某廠有男工240人，比全廠人數的少20人，該廠有職工多少人?

5

3

2.一輛汽車從甲地去乙地，已行，此時離中點還有200千米，已行多少千

8米?

3.一根電話線，用去它的

3

，又增加了3.4米，這時電話線的總長是原來10

9

沒 有用時的長度的。這根電話線原有多長?

8

3

4.學校圖書室內有一架故事書，借出總數的之后，再放上60本，這時架

41

上的書是原來總數的。求原來書架上放著多少本書?

3

4

例3.配件工廠加工一批零件，第一天加工了計劃的第二天又加工了余下

73

的，這時還剩42個零件沒有加工。這批零件共有多少個? 5

[思路點撥]

題目中，我們已知實際量“還剩42個”，只要找出實際量的對應分率，即可用對應量除以對應分率求出單位“1”。所以，我們只要求出對應分率，即還剩全部任務的幾分之幾沒有做。

完全解答： [試一試]

1

1.航空公司運送一批物資，第一架飛機運送了全部的，第二架飛機運送了

41

余下的，這時還剩下108噸沒有運。這批物資共有多少噸?

5

1

2.新華書店運來一批圖書，第一天賣出總數的多16本，第二天賣出總數

81

的少8本，還余下67本。這批圖書一共多少本? 2

4

例4.配件工廠加工一批零件，第一天加工了計劃的第二天又加工了計劃

731

的.第二天又加工了80個，結果超過計劃的。這批零件共有多少個? 814

[思路點撥]

題目中我們可以找到實際量“第三天又加工了80個”，要求單位1即這批零件共有多少個，只要找出80個的對應分率即可。

完全解答：

4

1.配件工廠加工一批零件，第一天加工了計劃的，第二天又加工了計劃的

73

，結果比計劃多加工了120個。這批零件共有多少個? 5

11

2.一堆蘋果，吃了后又買來324個，這時這堆蘋果個數比原來多了。原

45來這堆蘋果有多少個?

[想想做做]

二、長方體和正方體

(一)表面積

【思維訓練】

例1、有一種長方體塑料落水管，截面長是10厘米，寬是6厘米，一根這樣的落水管長2米，做10根這樣的落水橫管至少需要多大面積的塑料?(落水管厚度與接頭忽略不計)

[思路點撥]

在實際生產和生活中，經常不需要計算長方體(或正方體)六個面的總面積，而是要根據實際情況，計算某幾個面的面積。例如計算做落水管所需材料的面積，只需要計算落水管的側面積(即4個面的面積)。

[試一試]

一個游泳池長50米，寬25米，深2米。這個游泳池占地多少平方米?在游泳池的四壁和底面貼上每塊面積是4平方分米的瓷磚，共需多少塊?

例2、有兩個棱長是3厘米的正方體，從

第一個正方體的一個頂點處挖去一個棱長是1

厘米的小正方體，在第二個正方體的上面中央

粘上一個棱長是1厘米的小正方體，求兩個所

得物體的表面積。

[思路點撥]

計算不規則的長方體或正方體的表面積，關鍵在于觀察。例如第一個正方體的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的小正方體，挖去后形成的三個小正方形的面積正好可以填補從正方體表而上挖去的面積，求該不規則物體的表面積就是求正方體的表面積；第二個正方體的上面中央粘上一個棱長是1厘米的小正方體，如果把小正方體當作按鈕按下去，則可以看到小正方體的上面正好可以填補大正方體上面被遮擋的面積，那么求這個組合體的表面積就是求大正方體的表面積與小正方體的側面積之和。

[試一試]

有一個棱長足4厘米的正方體，從它一個而的中央挖去

一個棱長是1厘米的小正方體，所得物體的表面積是多少?如果

每個面的中央都挖去這樣一個小正方體，所得物體的表面積義

是多少?

[想想做做]

1、一種火柴盒的長是4厘米，寬是3厘米，高是1.5厘米。如果把內盒的長、寬、高看做與外盒的長、寬、高相同來計算，做這樣一個火柴盒一共需要多少平方厘米的硬紙?

2、在棱長3厘米正方體的一條棱上挖去一個棱長1厘

米的小正方體，所得物體的表面積是多少?

例3、兩個棱長是2厘米的小正方體可以拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米?

[思路點撥]

在解決長方體或正方體拼接或剪切的問題時，關鍵在于找準減少或增加的面。兩個相同的小正方體拼成一個長方體，減少的是兩個小正方形的面積，可以先求出兩個小正方體的表面積之和，再減去兩個小正方形的面積；或者先求出長方體的長、寬和高，再求出長方體的表面積。

完全解答：

方法一：

[試一試]

1、三個棱長是3厘米的小正方體可以拼成一個長方體，表面積減少多少平方厘米?

方法二：

2、至少需要多少個小正方體才能拼成一個大正方體，如果一個小正方體的棱長是4厘米，那么這個大正方體的表面積是多少平方厘米?

例4、下圖表示用相同的小正方體擺成的立體圖形。請你仔細觀察后回答問題。

(1)從上面看到的是( )；(2)從正面看到的是( )；(3)從左側面看到的是( )。

[思路點撥]

解決觀察問題的關鍵在于找準觀察點，即從哪個方向觀察。對于例題，我們可以分層觀察，最底層為第一層，依次往上為第二層，第三層??注意從側面觀察一定要分清左右。

[試一試]

1、觀察用棱長1厘米的正方體擺成的物體，從正面看到，從左側面看到

。這堆小正方體最多有( )個，最少有( )個。

2、右圖是用棱長1厘米的正方體擺成的立體圖形。

(1)從上面、正面和左側面看到的分別是什么形狀?試著畫

一畫。

從上面看

從前面看 從左側面看

(2)這個物體的表面積是多少平方厘米?

[想想做做]

1、學校會議室門前有9級臺階，每級臺階長9米，寬O.3米，高0.2米。這9級臺階一共占地多少平方米?如果給這些臺階鋪上紅地毯，至少需要多少平方米的紅地毯?

2、如圖，求這個正方體和長方體組合后的表面積。

3、把兩個長5厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體拼成一個大長方體，這個長方體的表面積最大可能是多少平方厘米?最少呢?

4、某種書長20厘米，寬12厘米，厚2.5厘米，現將4本這樣的書，包裝成一包，請你設計最節省包裝紙的一種方案，算出至少需要多少平方厘米的包裝紙?

5、下圖是用棱長1厘米的正方體擺成的立體圖形。

(1)這個物體(圖①)的表面積是多少平方厘米?

(2)在這個物體上添加一個正方體(圖②)，它的表面積又是多少平方厘米

?

(二)展開圖

【知識概述】

正方體的展開圖有各種各樣的情況，總的來說正方體相對應的兩個面展開后是不可能連接在一起的。正方體展開圖有以下幾種情況：

【思維訓練】

例1、右面是正方體紙盒的展開圖，當折疊成正

方體紙盒時，B面與( )面相對，( )面與E

面相對。

[思路點撥]

相列的面不相連，這是正方體或長方體展開圖的一個特點。在解決例題時，我們可以先確定C面為底面，固定不動，想象折起B面和D面，這樣就可以很快找出相對面了。

[試一試]

1、下圖是一個立方體紙盒的展開圖，當折疊成立方體紙

盒時，A點與( )點重合。

2、如圖有一正方體房間，在房間內的一角A處有一只小

蟲，它想到房間的另一角B處去吃食物，它采取怎樣的行走

路線最近?(畫出來)一共有幾條這樣的路線?

例2、如圖，無蓋長方體盒子的表面展開圖(重疊部分不計，單位分米)，則盒子棱長總和是多少分米

?

[思路點撥]

先補出折痕，如圖，通過觀察，可以知道5分米表示長與寬的和，3分米表示寬與高的和，而寬是2分米，高是1分米，進而可以求出盒子的棱長總和。

完全解答：

[試一試]

1、下面是一個長方體的展開圖，計算它的體

積和表面積。(單位：厘米)

2、一張長20厘米，寬15厘米的硬紙板，在它的四個角各剪去一個正方形，把它做成一個無蓋的長方體紙盒，請你設汁一個方案，并算出紙盒的容積。(接頭處與紙的厚度忽略不計)

1、一個長方體展開后有兩個面的形狀如下圖。請你繼續畫出其他的4個面，并求出這個長方體的表面積和體積。

2、一個底面是正方形的長方體紙箱，如果把它的側面展開，正好得到一個邊長為20厘米的正方形。這個紙箱的表面積是多少平方厘米?

(三)體積

【思維訓練】

例1、把一根2米長的方木截成三段(截面是正方形)，表面積增加100平方厘米，求這根方木的體積。

[思路點撥]

計算長方體或正方體的體積，還可以用底面積乘高或截面積乘長的方法。例題中的方木被截成三段后，增加4個截面，每個截面的面積是100÷4=25(平方厘米)，進而可以求出方木的體積，注意計量單位的統一。

完全解答：

[試一試]

1、一個底面積是25平方厘米的長方體容器，高10厘米，水深6厘米，這個容器還可以倒入多少立方厘米的水?

2、如圖，長方體的橫截面是正方形，且正方

形的對角線長3分米，求這個長方體的體積。

例2、某鄉要挖一條200米長的水渠，水渠截

面是梯形(如圖)，渠口寬2米，渠底寬1.5米，渠

深1米。共需挖土多少立方米

?

[思路點撥]

我們可以用截面積乘長的方法計算所需挖土的體積。先算出梯形的面積，再乘以長就行了。

完全解答：

[試一試]

1、你能求出下面立體圖形的體積嗎?

2、一件工具如下圖，它的體積是多少

?

例3、在一個長15分米，寬12分米的長方體水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一個棱長為30厘米的正方體鐵塊，水面上升多少厘米?

[思路點撥]

“萬變不離其宗”，這個“宗”就是指不變的量。在例題中，上升的水的體積就是鐵塊的體積，而上升的水的形狀是一個長15分米，寬12分米的長方體，求水面上升多少厘米，就用上升的水的體積(即鐵塊體積)除以水箱底面積。

完全解答：

[試一試]

1、學校把10.5立方米黃沙鋪在一個長6米、寬3.5米的長方體沙坑里，可以鋪多厚?

2、如圖，A的面積是25平方米，B的面積是15

平方米，h是4米。現在把A處的土堆到B處，使A、

B兩處同樣高，這時B處比原來升高多少米?

例4、一個長方體高增加2厘米后就成為正方體，其表面積增加24平方厘米，求原來長方體的體積。

[思路點撥]

這個題目關鍵是要先求出長方體的底面邊長，根據高增加2厘米，可以得出增加的實際上是一個2厘米高的長方體，這個長方體的側面積就是增加的24平方厘米的表面積。將這個側面展開成長方形，根據24平方厘米與高2厘米(長方形的寬)這兩個條件可以得出長方體的底面邊長。

完全解答：

[試一試]

1、一個長方體，如果高減少2厘米，就成為一個正方體，而且表面積減少56平方厘米，原來這個長方體的體積是多少

?

2、一個長方體，它的前面和上面的面積之和是156平方厘米，并且長、寬、高都是素數，這個長方體的體積是多少?(答案不唯一)

[想想做做]

1、把6升橙汁倒入一個長方體容器，已知這個容器的底面積是250平方厘米，那么橙汁深多少厘米?

2、一個長方體，如果長減少3厘米，體積減少60立方厘米；如果寬減少2厘米，體積減少48立方厘米。已知高是5厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米?

3、把一塊棱長是12厘米的正方體冰塊放入一個長20厘米，寬15厘米，深10厘米的長方體容器中融化，待冰完全融化后水的高度是多少厘米?(已知冰

1融化成水后體積減少) 12

4、人們常用“V”來表示勝利的喜悅。你知道嗎，“V”是英語單詞“victory”的第一個字母，這個單詞的意思就是勝利。請你求出下面這個“V”

的表面積和體積。(陰影部分為正方形，“V”左右相

同。)

練習二

1、求下面長方體和正方體的表面積。

2、一個長方體棱長的總和是48厘米，已知長是寬的1.5倍，寬是高的2倍，求這個長方體的體積。

3、下圖表示用相同的小正方體擺成的物體。

(1)從上面看到的是( )，

(2)從正面看到的是( )，

(3)從左側面看到的是( )。

4、一個正方體木塊，表面積是96平方厘米，最少可以把它鋸成體積相等的多少個正方休小木塊?每個小木塊的表面積是多少?

5、把一個六面都涂上顏色的正方體木塊，切成27

塊大小相同的小正方體(如圖)。

(1)三三面涂色的小正方體有多少塊?

(2)兩面涂色的小正方體有多少塊?

(3)一面涂色的小正方體有多少塊?

6、求下面長方體和正方體的體積。

7、一個底而是正方形的長方體，側面積是72平方分米，高6分米，求長方體的體積和表面積。

8、在一個長15分米，寬12分米的長方體水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一個棱長為60厘米的正方體鐵塊，現在水深多少分米?

9、一個長方體，如果高減少2厘米，就成為一個正方體，而且體積減少50立方厘米，原來這個長方體的表面積是多少?

10、下圖表示用棱長1厘米的正方體擺成的物體。

(1)從上面、正面和左側面看到的分別是什么形狀?試著畫一畫。

(2)這個物體的體積和表面積有什么變化?

11、3.05立方米=( )立方分米 450平方厘米=( )平方分米

0.8升=( )立方厘米 7000平方米=( )公頃

12、有兩個棱長是6厘米的正方體，從第一個正方體的一個頂點處挖去一個榜長是2厘米的小正方體,在第二個正方體的上面中央粘上一個棱長是2厘米的小正方體，哪個圖形的表面積大?大多少呢

?

13、一個長方體無蓋水箱，底面是邊長2分米的正方形，高4分米，做50個這樣的水箱，至少需要鐵皮多少平方米?

14、已知正方體小木塊的表面積是24平方厘米，把27個體積相等的正方體小木塊拼成一個大正方體，這個大正方體的表面積是多少?

15、一個長方體金魚缸，長50厘米，寬40厘米，高30厘米。

(1)做這個金魚缸至少需玻璃多少平方厘米?

(2)在魚缸里注入40升水，水深大約多少厘米?(玻璃厚度不計)

(3)再往水里放人鵝卵石、水草和魚，水面上升了2.5厘米。這些鵝卵石、水草和魚的體積一共是多少立方厘米?

16、有一個長方體，它的前面和上面的面積之和是25平方厘米，并且長、寬、高都是質數，這個長方體的體積是多少?

17、把一個長是8厘米，寬是6厘米，高是4厘米的長方體切分成若干個相同的小正方體，最少可以分成多少個小正方體？小正方體的體積是多少？

三、分數乘法

【思維訓練】

例1、學校要修一條長3300米的路，已經修了2100米，再修多少米正好修2

完這條路的?

3

[思路點撥]

要求還要修的米數，用要修的總米數減去已經修的米數。這條路的全長是2

單位“1”，一共要修的米數，就是3300米的3要再修的米數。

完全解答： [試一試]

1

1、蘇華看一本72頁的書，第一天看了全書的4本書的一半?

11

2、果品倉庫有一批橘子，4天運走了它的?

32

911

例2、倉庫存有噸。兩周共運

532走大米多少噸?

[思路點撥]

91

要求兩周一共運走大米的噸數，就是求噸的是多少，再用第一周運走的

83噸數加上第二周運走的噸數求出兩周共運走的噸數。

111

注意：“第二周運走噸”這里的是一個具體的數量，直接加上噸就可以

2221

了，不能乘。

2

完全解答： [試一試]

11

1.8噸煤，第一次用去?

44

11

2.有2噸煤，第一次運走，第二次又運走噸，這時還剩多少噸?

42

[想想做做]

434

1.一條公路千米，已經修了千米。再修多少千米就正好修了全長的5255

721

2.修一段千米的公路，第一天修了，第二天修了872少千米?

311

3.甲、乙兩隊合挖一條水渠，甲挖了千米，乙隊挖的比甲隊的還多千米，

425這條水渠全長多少千米?

22

4.甲堆煤42噸，乙堆煤比甲堆的少噸，乙堆煤有多少噸?

33

2

例3.修路隊修一條400米的路，前三天已經修了全程的還剩多少米沒有

3修?

[思路點撥]

要求“還剩多少米沒有修”，我們首先想到的是先求出已經修了多少米，總長度減去已修的就是剩下的，除此以外，我們還可以用線段圖表示他們的關系。

完全解答： [試一試]

1

1.一套西服原價780元，現在的價格比原來降低了?

5

1

2.研究表明：水結成冰之后，體積增加。現有132立方米的水，結成冰

11后的體積是多少立方米?

1

例4.一本故事書書共100頁，張明第一天看了總頁數的第二天看了總頁

5

1

數的，剩下的第三天看完，第三天看了多少頁?

4

[思路點撥]

解答這道題可以先分別求出前兩天看的頁數，再求第三天看的頁數；也可119911

以先求出前兩天一共看了全書的 + =，再求還剩下全書的1- =沒有看，

54202020也就是100頁的

1111

沒有看，第三天要看100頁的。 2020

完全解答： [試一試]

13

1.某鞋店進來皮鞋600雙。第一周賣出總數的，第二周賣出總數的。還

58剩多少雙沒有賣?

2.甲、乙兩車同時從相距540千米的A、B兩地相對開出，5小時后甲車行32

了全程的，乙車行了全程的，這時兩車相距多少千米?(畫線段圖)

43

1

例5.希望小學去年有24個班級，今年的班級數比去年增加了。今年一共

4有多少個班級?

[思路點撥]

1

解答這一題，我們首先要找出關鍵句“今年的班級數比去年增加了”，即

41

以去年的班級數為單位“1”，今年的班級數是(1+ )。

4

完全解答： [試一試]

1

1.天明小學去年有24個班級，今年的班級數比去年減少了

4多少個班級?

1

2.草地上有90只山羊，綿羊的只數比山羊少，綿羊有多少只?

3

例6.六年級同學給災區的小朋友捐款。六(1)班捐了500元，六(2)班捐的

49

是六(1)班的，六(3)班捐的是六(2)班的。六(3)班捐款多少元?

58

[思路點撥]

題目中有兩句關鍵句分別說明了三個班的捐款金額關系：“六(2)班捐的是49

六(1)班的，六(3)班捐的是六(2)班的”，這兩句話的單位“1”不同，要求

58六(3)班，可以先求出六(2)班的，再以六(2)班為單位“1”，求出六(3)班。

完全解答： [試一試]

23

1.一堆沙共3噸，第一天運走它的，第二天運走

54了多少噸?

43

2.一堆沙共3噸，第一天運走了，第二天運走

54了多少噸?

[想想做做]

23

1.甲班人數是乙班的，乙班人數是丙班的。如果丙班有70人，那么甲班

57有多少人?乙班有多少人？

2.一條路長

2411千米，修路隊第一天修了全長的，第二天比第一天多修，544

第二天修了多少千米?

354

3.甲、乙、丙三堆煤，甲堆煤重噸，乙堆煤是甲的565丙堆煤重多少噸?

2

4.小球從高空落下，每次彈起的高度都是前一次的125

5米的高空下落，第三次落下的高度是多少米?

練習三

31

1.甲、乙兩隊合挖一條水渠，甲挖了千米，乙隊挖的比甲隊挖的多，這

42條水渠全長多少千米？

1

2.宇航員到了月球上后，體重就只有地球上的，一位宇航員在地球上的體

6重是72千克。他到月球上體重減少了多少千克?

11

3.一本80頁的書，第一天看了，第二天看了余下的58頁看起?

22

4.甲班人數是乙班的，丙班人數是乙班的。如果丙班有40人，那么甲班

53有多少人?乙班有多少人?

5.六(1)班有學生40人，在學校組織的秋季運動會上每人至少參加一項運

31

動，全班有的人參加拔河比賽，的人參加接力賽跑，這兩項運動都參加的有

52多少人？

3

6.六(1)班有學生40人，在學校組織的秋季運動會上，全班有的人參加拔

51

河比賽，的人參加接力賽跑，這兩項運動都參加的至少有多少人?最多有多少

2人?

7.六(1)班全體同學共48人都參加了語數興趣小組，其中參加語文興趣小32

組的占全班的，參加數學興趣小組的人數占全班的43少人?

3

8.六(1)班全體同學共48人，其中參加語文興趣小組的占全班的，參加數

42

學興趣小組的人數占全班的，兩種都參加的同學至少有多少人?最多有多少人?

3

9.甲乙兩個倉庫，甲倉存糧30噸，如果從甲倉中取出存糧數相等。兩倉存糧一共多少千克?

1

20

10.甲乙兩倉庫共有存糧30少噸？

151

5，兩倉共調出多

四、分數除法

【思維訓練】

例1.加工一批零件，第一天加工300個，第二天加工350個，這兩天共加3

工了這批零件的。這批零件共有多少個?

5

[思路點撥]

根據題意，把這批零件的總數看成單位“1”，兩天共加工650個，650所3

對應的分率是。求單位“1”的量用除法計算。

5

完全解答： [試一試]

1.超市運進水果，第一批運進320千克，第二批運進400千克，這兩批運2

進水果的重量占超市現在所有水果的，超市現在一共有水果多少千克?

3

3

2.一條鐵路，修完900千米后，剩余部分比全長的300千米，這條鐵路

4長多少千米?

1.一批大米，第一天吃了總數的50千克。這批大米共有多少千克?

24

，相當于第二天吃的155

2.某工程隊修筑一條馬路。第一天修了全長的剩630米沒有修。這條馬路仝長多少米?

3.某工程隊修筑一條馬路。第一天修了全長的

34

，第二天修了余下的105

34，第二天修了余下的105

時已修的比未修的多360米。這條馬路全長多少米?

45

4.一批貨物，賣掉它的，又運進8925噸，這時貨物的總數是原來的。這

58批貨物原有多少噸?

練習四

1

1.學校蓋一座大樓實際投資240萬元，比計劃節省?

6

1

2.甲乙兩組人數相等，如果從乙組調出3人到甲組，這時乙組比甲組少3這兩組共有多少人？

1

3.一瓶飲料，一次喝掉一半飲料后，連瓶共重700克；如果喝掉飲料的后，

3則連瓶共重800克，求瓶子的重量。

1

4.一只糖果盒內裝有糖，連盒稱共重5.6千克，小明吃去3去1.2千克糖，連盒共重2.6千克，求糖果盒重多少千克?

5.學校四年級上學期男生人數占全年級的

11

，本學期初轉走6名男生，又20

轉來6名女生，這時女生人數占全年級人數的

10

，該年級共有多少男生? 40

11

6.小明看一本小說，第一天看了全書的還多21頁，第二天看了全書的少

864頁，還剩下102頁。這本小說一共有多少頁?

12

7.行一段路，客車第一小時行了這段路的，第二小時行了這段路的，距

45終點140千米。這段路長多少于米?

1

8.某工廠第一車間原有工人120名，現在調出給第二車間后，這時第一車

86

間的人數比第二車間現有人數的還多3名。求第二車間原來有多少人?

7

9.甲乙二人加工1200個零件，甲加工一個零件需2分鐘，乙加工一個零件需3分鐘，甲乙二人合加工需多少分鐘完成?

10.一批零件，甲獨做3小時完成，乙獨做4小時完成，兩隊合做多少小時完成?

11.甲、乙、丙三人合買一艘游艇，甲付的錢是其余兩人的一半，乙付的錢1

是其余兩人的，丙付的錢正好是5000元，一艘游艇多少錢?

3

3

12.閱覽室看書的同學中，女同學占，有5名女同學離開，這時看書的同

52

學中，女同學占。原來閱覽室里一共有多少名同學?

5

5

13.數學興趣小組，上學期男同學占，這學期增加了18名女生后，男生就

82

只占了，這個小組現在有女生多少人?

5

114.書店運來科技書和文藝書共240包，科技書占6

書，這時科技書占兩種書總數的

15.有一塊菜地和一塊稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公頃，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公頃。那么這塊稻田有多少公頃?

16.張師傅四天做完一批零件，第一天和第二天共做了54個，第二、第三、

1第四天共做了90個，已知第二天做的個數占這批零件的。這批零件一共多少5

個?

3，現在兩種書各有多少包? 11

五、比的應用

【思維訓練】

例1.一杯鹽水200克，其中鹽與水的比是1：24，如果再放入4克鹽，那么這時鹽與水的比是多少?

[思路點撥]

先求出原來的鹽與水的重量，再求出現在鹽與水的比。

完全解答：

[試一試]

1.有三個三角形甲、乙、丙，它們高之比依次是1：2：3，高所對應的底之比是6：9：4。已知三角形甲的面積是30平方厘米，那么乙、丙兩個三角的面積之和是多少平方厘米?

2.一種什錦糖是由奶糖、水果糖和酥糖按3：5：2混合成的，要配制這樣的什錦糖500千克需要奶糖、水果糖和酥糖各多少千克?

11例2.小軍走的路程比小紅多而小紅行走的時間卻比小軍多，求小軍與410

小紅的速度比。

[思路點撥]

像這樣的總是，同學們可以先整理數量天系再來解答。

路程

小軍 時間 速度 111÷1=1 44

1÷1110 = 101111 4 1 1 10小紅 1 1

110小軍和小紅的速度比是1：8 411

答.小軍和小紅的速度比是11：8。

[試一試]

1.李師傅生產一批零件，不合格的零件個數與合格零件個數的比是1：19，后來又從合格零件中挑出2個不合格的，這時合格率為94％，這批零件一共有多少個?

2.小明與小亮同住一幢樓，他們同時出發騎車去郊外李老師家，又同時到

1達李老師家，但途中小明休息的時間是小亮騎車的時問的，而小亮休息時間是3

1小明騎車的，小明和小亮騎車速度的比是多少? 4

例3.兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液，一個瓶子中酒精與水的體積比是3：1，而另一個瓶子中酒精與水的體積比是4：1，若把兩瓶酒精溶液混合，求混合液

中灑糖與水的體積之比是多少?

[思路點撥]

這類問題可以把酒精瓶了的容量看做“1”或者設具體量(假設一個4和5的公倍數的數)來解答。

完全解答：

[試一試]

1.一袋糖果平均分給兄弟兩個吃，哥哥吃完時看弟弟還沒有吃完于是就拿弟弟的兩個，兩人同時吃完了，吃完時哥哥與弟弟吃的數量比是5：4，弟弟吃了多少個?

2.甲乙兩人同時從A、B兩地同時出發相向而行，3分鐘后，兩個所行的路程比恰好是5：4，這時甲離中點60米，乙離中點100米，你能知道AB兩地相距多遠嗎?

例4.一個直角三角形三條高的比是20：12：15。這個三角形的周長是36厘米，三條邊的長度分別是多少厘米?

[思路點撥]

本題知道三角形的周長，求三條邊的長度，但不知道三條邊的比是多少，它可以根據三條高的比求得。(在三角形中，底之比等于高之比的倒數比)

三條高的比是20：12：15

三條底的比是111：：=3：5：4 201215

36÷(3+5+4)=3(厘米)

3×3=9(厘米) 3×5=15(厘米) 3×4=12(厘米)

答：三條邊的長度分別是9厘米，15厘米，12厘米。

[試一試]

1.建筑工地運來水泥、黃沙、石子各4.8噸，按2：3：5拌制成一種混凝土，如果要把黃沙全部用完，石子還少多少噸?

2.圖書館進三種書，其中工具書140本，科技書與其他兩種書的比是1：3，文藝書與其他的兩種書的比是1：5。購進的三種書共多少本?

[想想做做]

1.東海小學新建教學樓，需將水泥、黃沙、石子按照2：3：5攪拌成混凝土。現在已備有黃沙6噸，還需準備水泥和石子各多少噸?

2.兩地相距280千米，甲、乙兩輛汽車同時從兩地相向開出，4小時后相遇。已知甲、乙兩車速度比是4：3，相遇時兩車速度各是多少千米?

3.一個平行四邊形與一個三角形，它們底邊長的比是1：2，高的比是1：2，它們的面積比是多少?

344.某廠第一車間人數的相當于第二車間人數的。已經第一車間有320人，43

第二車間有多少人?

5.六一班和六二班訂《少年科學》的人數比是3：4，兩個班共訂了49份，兩個班各訂了多少份?

6.甲乙兩數的平均數是25，兩數之比為2：3。求甲數與乙數各是多少?

練習五

1.用48厘米的鐵絲圍成一個長方形，這個長方形長和寬的比是5：3，它的面積是多少平方厘米?

2.一個長方體的棱長之和是104厘米，長、寬、高的比是6：5：2，長、寬、高各是多少？

3.學生人數在40到50之間，男生人數和女生人數的比是5：6，這個班的男生和女生各有多少人?

4.甲、乙兩個長方形，它們的周長相等，甲的長與寬之比是3：2，乙的長與寬之比是7：5，求甲與乙的面積之比。

5.育英小學六年級學生分三批去參觀科技館。第一批和第二批的人數比是5：4，第二批與第三批的比是3：2，已知第一批比第二批人數的總和少15人。求六年級參觀的有多少人?

6.小明讀一本故事書，已讀的頁數和未讀的頁數之比是1：5，如果再讀30頁，則已經讀的和未讀的頁數比是3：5，這本書一共有多少頁?

27.甲、乙兩桶油共130千克，從甲桶倒出7

7：6，原來甲、乙兩桶各有油多少千克?

8.一個容器內已注滿水。現有大中小三個球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入

1水中。現在知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的3

是第一次的2.5倍。求三個球的體積之比。

9.某團體有100名會員，男會員與女會員的人數之比是14：11，會員分成三個組，甲組人數與乙丙兩組人數之和一樣多，各組男會員與女會員人數之比是甲：12：13、乙：5：3、丙：2：1，那么丙組有多少名男會員?

10.一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1：2：3。某人走這三段路所用的時間比依次是4：5：6。已知他上坡速度是每小時3千米，路程全長是50千米，問此人走完全程用了多少小時?

六、分數的簡便計算

（一）巧用運算定律和性質

[思維訓練]

32例1、125××125+ 85

[思路點撥]

這道題在熟練地進行分數、小數互化基礎上利用了乘法分配律和加法結合律，是簡便計算中常用的方法。

352原式=125× + ×125+(2.6+ ) 885

35=125×( + ) +3 88

=125+3

=128

[試一試]

3.64÷4 +4.36×0.25

44例2、×46 45

[思路點撥]

以下兩種方法分別對兩個乘數進行變形之后，都利用乘法分配律使計算簡便。

441144方法一： ×46=(1- )×46=46-1=44 45454545

44444444方法二： ×46=×(45+1)=44+ =44 45454545

[試一試]

89×87 88

方法一：

2例3、5417 5

[思路點撥]

2運用拆分的方法，把被除數5417的倍數與另一個較小的數相加，5

1然后分別除以17，如果把除以17改寫成乘以 17

2原式=(51+3)÷17 5

17=51÷17+ ÷17 5

1=3 5

[試一試]

1166÷41 20

方法二：

例4、2008÷2008

[思路點撥]

題中的20082008200920082009

出來，用兩個數相乘的算式表示，這樣便于約分和計算。括號里可以拆項分別相除進行簡算，與原算式的結果互為倒數，所以最后需要還原。

方法一：原式=2008÷

2008×2010=2008÷ 2009

2009=2008× 2008×2010

2009= 2010

2008方法二：原式=1÷(2008÷2008) 2009

2008=1÷(2008÷2008+÷2008) 2009

=1÷11 20092008×2009+2008 2009

=2009 2010

[試一試]

1998÷1998

1998 1999

53例5、91×95 88

533=91× + ×91 + ×4 888

[試一試]

3223×25 +37.9×6 555

[想想做做]

3132÷14 + ÷3 7373 13141541× +51× +61×344556

2111×( - )×12 1112

(二)約分法

【知識概述】

本節所述題型，除了要牢記運算定律和性質外，還要仔細審題，仔細觀察運算符號和數字特點，合理地把參加運算的數進行重新變形但不變值，從而可以通過約分簡化運算，這樣不僅可以算得快，還不容易出錯。

【思維訓練】

例6.1+2+3+4+510+20+30+40+50

將分子與分母改寫成兩數相乘的形式，通過約分使計算簡便。

完全解答：

[試一試]

1983+1985+??+1999 1984+1986+??+2000

2255例7、(9÷(7979

[思路點撥]

題中前一括號中的每個數與后一括號中所對應的數都可以約分，使計算簡便。

656555原式=( + )÷( +) 7979

[試一試]

6324218(96 +36)÷(32 +12) 73257325

例8、(4.8×11×4.5)÷(33×0.8×0.9)

[思路點撥]

改寫成分式后直接約分，使計算簡便。

原式=4.8×11×4.5 33×0.8×0.9

=10

[試一試]

(8.5×65×8.1)÷(34×5.2×2.7)

例9、666×325-555111+666×324

[思路點撥]

本題中的分子和分母沒有公有的因式可以直接約分，通過觀察分子分母中數的特征，可以將分了變得和分母一樣，也可以將分母變得和分子一樣。

原式=666×324+666-555 111+666×324

=666×324+111 111+666×324

=1

[試一試]

666×323-777 111+666×324

1111例10、(1- ×(1- ×??×(1- ×(1- ) 2320072008

計算本題時，可以先把每個括號中的結果先計算出來，會發現前一個分數的分母和后一個分數的分子可以約分，這樣結果的分子和分母就是第一個和最后一個分數的分子和分母。

12320062007原式=×××??× 23420072008

=

[試一試]

11111(1+ )×(1+ )×(1+ )×??×(1+ )×(1+ 23420062007

[想想做做]

471+471471+471471471 157+157157+157157157

362+548×3611 - 362×548-1863

(三)拆項法

[知識概述]

將一個分式按一定的規律拆分后，往往可以將一些復雜的運算轉化成簡便運算。拆分的方法如下：

11b-a1 - = = ×(b-a)(a<b且ab不為0) aba×ba×b 836345( +1 + ) ÷(97111197

111 – = (a不為0) a2a2a

[思維訓練]

1111例11、??+ 1×22×33×499×100

[思路點撥]

本題直接利用拆項的方法，將每個分數拆成相應的減法形式。

1111111原式=1- + – + – +??+ – 2233499100

=1- 1 100

=99 100

[試一試]

27911191– + – +??- 312203090

1111例12、??+ 5×88×1111×1498×101

[思路點撥]

本題分母中兩個因數相差3，所以是分數的拆分和乘法分配律的綜合應用。

111111111原式=( – )× +( - ) × +??( - ×5838113981013

1111111 =( - + – +??+ – ) × 58811981013

111 =( – ) × 51013

=32 505

[試一試]

3333 + + +??+ 2×55×88×1198×101

11111例13、??+ 24816512

[思路點撥]

該題與前兩題不同，它的規律是前一個分數的大小是后一個分數的2倍，所以在拆項時，只要把每個分數轉化成前一個分數減去本身的差就可以。

111111111原式=(1- )+( – )+( - )+( – )+??+(22448816256512

111111111 =1- + – + - + – +??+ 22448816256512

=1- 1 512

=511 512

[試一試]

11111 + + +??+ + 24810242048

[想想做做]

111111 + 1 +1 +1 +1 26122030

222221 +2 +3 +4 +5 315356399

（四）其它

[思維訓練]

7322例14、1135135

[思路點撥]

利用分數乘法的計算法則，掉換兩個乘數的分子，使題目符合使用乘法分5791113151- – – + 61220304256

配律。

7372原式=× + × 135135

(嘗試自己完成)

[試一試]

29×

11111111111例15、( + + )×( + + )-( + + 1121314121314151112131

11111 + )×( + + ) 4151213141

[思路點撥]

在運用乘法分配律進行計算時，可以將若干個數的和看作一個整體，為使計算過程簡便，可以將相同的一組數用字母代替。

1111111設 + + + 為A， + + 為B，然后利用乘法分配律進行11213141213141

簡算。 1729 +114× 131131

原式=A×(B+

11

51)-(A+ 51

) ×B =AB+

1151A-AB- 51

B =1

51

(A-B)

=11151[(11 + 21 + 131 + 141)-(121 + 131 + 141)]

=1151×11

=

1561

[試一試]

(1+ 13 + 14 + 15) ×(13 + 14 + 15)-(1+ 13 + 14 + 15)

[想想做做] 139×137138 -137×1

138

(1134×

練習六

計算下面各題，能簡便計算的要用簡便方法計算。 793×× 181514

45÷

154÷ 85

2

3.6×31 +3.14×64

5

48.75×1.01-48.75

6.72×0.125+9.28÷8

59×711 + 259×11

1- 12– 11114– 8– 16 – 32

32– 567129201130

12×(23– 3413÷98

7162×÷

49642×÷2 7

72516

×3.125+ 22421372213

(4.5×11×4.8) ÷(33×0.8×0.9)

12 – 89÷53

6×16

[1-(75%+

112 75×538

71419

321 77

78×39

7×(11

7 + 9

) ×9

23823

8.8×(1+25%)

3 1112

315351

63

192 51248

13284921+13×49

×

179111 - + - 3122030

1

136÷135 134

4898+ 1515

48×(2

153

1264

7774

32 -(2 + 4881111

141141

3× + ×6 + ÷4 19441919 131÷8 9

151119 + + + 261220

2222

+ + + 3153563

5558

- + - 913913

198

200×

199

3763×62

3132 +14 + +3 7373

57×49+51× 1212

131441 344514+63×25%+0.25×36.5 2 8138278 95959 32136×(×432

1111(1+ )×(1+ )×(1+ )×??×(1+ ) 2349

13124÷( + - ) 346

【知識鏈接】 7151.25+ 125%- 934131( + - )÷24 34651198×(×27+ 82727

《運算定律與簡便計算》數學知識大串聯

加數交換和不變，因數交換積不變，

加法乘法交換律，計算符號莫混亂，

此種方法可驗算，注意格式和得數。

先前兩或先后兩，和積不變結合律。

只換位置無括號，加法乘法交換律，

只添括號位不變，加法乘法結合律，

既換位置又括號，兩個定律都用了。

乘法三對好朋友，交換結合常思念。

一題出現兩括號，少些步驟同時算。

乘法還有分配律，特點規律弄分明。

兩數之和乘一數，分開相乘再相加，

括號中間有加號，分開相乘也有加。

分開相乘能口算，用此方法真方便，

分開相乘不簡便，何必費咱紙筆硯。

乘法分配可反用，兩端相乘一數同，

同樣要求能口算，不同之和乘相同，

求和再乘不簡便，少走彎路原法算。

乘法分配有技巧，做題反思得經驗。

不管怎樣來簡算，得數絕對不能變，

否則肯定有問題，趕緊查找錯根源。

減法也有其性質，連減可以減去和，

尾數相同可先減，減和也能變連減。

除法同樣有性質，連除也可除以積，

除以積也可連除，前提必須能簡算。

定律性質有規律，掌握規律真方便，

按照規律不簡便，仍照原來方法算。

解決問題先讀題，算式算法不相干，

算式一定最合理，怎樣簡單怎樣算。

一題多解動腦想，理出步驟一二三，

分步解答也可以，但是不如綜合算，

解答之后要檢驗，沒有問題再答案。

七、解決問題的策略

【知識概述】

1、用替換的策略解決問題可以分為幾種類型：

一個量比另一個量多(少)多少；

一個量是另一個量的幾倍(整數倍)：

一個量是另一個量的幾分之幾(分數)；

以圖或形的方式呈現的題目，如例3。

2、在分清量與量的關系的基礎上去完成替換，先求出一個量再根據關系去求出第二個量。特別是第三種情況容易顛倒位置，造成錯誤，而第4種類型則要正確地理解題意。

用假設的方法去解題，最關鍵的地方在于要學會把兩種情況看作一種情況去對待，當作一種情況去處理，這樣一來就會出現一個與實際情況不相符的結果。接下來最重要的事情就是理解清楚為什么會出現這種差別，理解用差量去除以假設量與現實量的差，就可以得出假設量有多少。當然，用方程的方法去解假設問題也是一種很好的方法。

【思維訓練】

例1.梨化莊小學有3塊面積相等的花圃和3塊而積相等的苗圃，一共是480平方水。每塊花圃比每塊苗圃大10平方米，每塊花圃和每塊苗圃各是多少平方米?

[思路點撥]

根據每塊花圃比每塊苗圃大10平方米的關系，可以把3塊花圃替換成3塊苗圃，再從總面積里減去30平方米的面積。就可以得出6塊苗圃的面積是450平方米，就可以求出每塊苗圃的面積，這樣一來，花圃的面積就可以求出。

完全解答：

思考：你能用和差問題的方法來解答嗎?

[試一試]

1.小明買了4本大筆記和3本小筆記，一共花了9元錢，已知一本大筆記比小筆記貴0.5元，求大筆記和小筆記各幾元一本?

2.淮師一附小師生一行31人去楚秀園游玩，正好租用了3只大船和2只小船正好滿座。已知一個只船比小船從坐2人，求每只大船、小船各可以坐幾人?

例2.把650毫升牛奶倒入3個大杯和2個小杯剛好倒滿，已知2個大杯的容量正好等于3個小杯的容量，求：大杯和小杯的容量是多少?

[思路點撥]

根據大小杯的容量的關系，可以把3個大杯替換成4.5個小杯，這樣一來就是6.5個小杯共裝了650毫升的牛奶，在求出小杯的容量是100毫升后很容易就可以求出大杯的容量是150毫升。當然，此題亦可以把小杯替換成大杯。

完全解答：

方法一：

[試一試] 方法二：

1.33個乒乓球正好可以分裝在2個大盒和5個小盒里，已知小盒能裝大盒的三分之一，求每個大盒、每個小盒分別能裝多少個?

2.蘋果和枯子共花了23元，蘋果7千克，桔子3千克。2千克桔子等于3千克蘋果的錢。問桔子單價幾元?

例3.看圖填空

●=△+△+△ ●×△=12

●=( ) △=( )

[思路點撥]

此題最大的不同在于沒有語言的表述，可以把●替換成3個△的和，但要想到是(△+△+△)×△的形式，也就是3個△的平方的和是12，這樣就可以推斷出△=2。

完全解答：

例4.小明家養雞和兔一共有35只。這些雞和兔一共有100條腿。小明家養雞和兔各有多少只?

[思路點撥]

本題是典型的雞兔同籠問題，應用假沒法解題是很好的方法，可以先假設這35只都是雞，那么就會有70條腿，和實際的條數會有(100-70=30)條的差距，

因為實際上這35只不全是雞，有一部分兔予被你看成了雞，所以，有一只兔子被你看成雞就會少算2條腿，一共少算了30條腿，故有15只兔子。當然也可以全部假設成兔。

完全解答：

方法一：

1.有1元和5角的硬幣一共40枚，有33元。1元和5角的硬幣各有多少枚?

2.有30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分。兩種硬幣各有多少枚?

例5.44名學生去劃船，一共乘坐1O只船，其中大船坐6人，小船坐4人，問大船小船各幾只?

[思路點撥]

可以假設都是大船，也可以假設都是小船。同例4一樣也會出現一個和實際情況不相符的結果，這也正是理解和解決問題的關鍵。動手試試吧!

完全解答：

方法一：

[試一試]

1.12張乒乓球桌上一共有34個同學在比賽。你知道正在單打和雙打的乒乓 方法二： 方法二：

球桌各有幾張嗎?

2.一只小松鼠采松子。晴天每天可采20個，雨天每天可采12個。如果一連幾天共采了112個，平均每天采14個。這幾天中有幾天是晴天?有幾天是雨天?

例6.小明參加猜謎語比賽，共答20道題，規定猜對一道得5分，錯一道倒扣3分(不猜按猜錯算)，小明共得60分.他猜對幾題?

[思路點撥]

這道題也是一個用假設法可以解決的問題，兩種情況，一種是加5分，另一種是扣3分，可以假設都答對了，那么就可以算出可以得5×20=100分，和60分之間有一個40分的差距，為什么會有這個差距呢?是因為20題他并非全都答對了，也有錯了，被你當成正確的了，所以有一題錯的就會多算8分，所以用40÷8=5題，這就是答錯的題，答對的就是15題了，你會檢查一下你的答案是不是正確嗎?

完全解答：

[試一試]

一輛汽車裝運360個花瓶，每個花瓶運費5元，如果損壞一個，不但不給

運費，還要賠50元。在這次運輸中，司機只拿到1250元錢。他損壞了幾個花瓶?

[想想做做]

1.甲、乙兩人參加知識競賽，每答對一題得20分，答錯一題扣12分，兩人各答了10題，共得208分，其中甲比乙多得64分。甲、乙兩人各做對了幾題?

2.甲、乙兩堆煤共有760噸，甲堆運走四分之一，乙堆運走五分之一，兩堆煤共剩下592噸，甲、乙兩堆煤原來各有多少噸?

練習七

1.王大爺家養了2頭豬和10只羊。如果1頭豬的質量相當于5只羊的質量，那么，這些豬和羊的總質量相當于( )只羊的質量。

2.李大娘去農貿市場賣2只母雞和6只公雞。1只母雞的價錢是一只公雞的1。李大娘總共賣得的錢相當于( )只公雞的錢，或者相當于( )只母雞的2

錢。

3.如表中所示.

每箱香蕉比每箱桃貴10元。小李花的錢比小王多( )元，小張花的錢比小王少( )元。

4.陳老師買了2千克荔枝和2千克香蕉，每千克荔枝比每千克香蕉貴5元。如果陳老師買的4千克全是荔枝，就要多花( )元；如果買的4千克都是香蕉，就要少花( )元。

5.六(1)班的50位同學和孫老師、陳老師一起去參觀農科園，買門票一共用去810元。

1(1)如果每張學生票的價錢是每張成人票的。每張學生票多少元? 每張2

成人票多少元?

(2)如果每張學生票的價錢比每張成人票的價錢便宜15元。每張學生票多少元?每張成人票多少元?

6.雞和兔一共有6只，數一數腿有20條。雞和兔各有多少只?

7.少先隊員采集標本，采得的個數是一個有趣的數。把這個數除以5，再減

去25，還剩25，你算一算，共采集了多少個標本?(倒推法)

8.有人問殷老師今年多少歲，他說：“把我的年齡加上5，減去3，再乘4，最后除以5，結果是24歲。”問殷老師今年多少歲?(倒推法)

9.有一根電線，第一天用去2米，又用去余下的一半，第二天用去2米，又用去余下的一半，還剩12米，這根電線原有多少米?(倒推法)

10.糧店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克，已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋火米重多少千克?(替換法)

11.百貨商店運來300雙球鞋，分別裝在2個木箱、6個紙箱里。如果2個紙箱同1個木箱裝的球鞋一樣多，想一想：每個木箱和每個紙箱各裝多少雙球鞋?(替換法)

12.用大、小兩輛汽車運煤，大汽車運了9次，小汽車運了10次，一共運

了132噸。大汽車3次運的煤量等于小汽車4次運的煤量。大、小汽車的載重量各是多少噸?(替換法)

13.大隊部買了12支鋼筆和18支圓珠筆，共付57.60元。已知2支鋼筆的價錢和3支圓珠筆一樣多，每支鋼筆和每支圓珠筆各多少錢?

14.甲乙丙三個工人共生產110個零件，甲生產的零件數是乙的2倍，丙比乙多生產10個。三個工人各生產零件多少個?(替換法)

15.動物園來了一批駝鳥和斑馬，已知它們共有30只眼睛，44只腳，請問駝鳥和斑馬各來了多少只?(假設法 提示：一共多少只?)

16.小明參加猜迷語比賽，共20個題，規定猜對一個得5分，猜錯一個倒扣3分(不猜按猜錯算)，小明一共得60分，他猜對了幾道題?(假設法 提示：做對和做錯一題相差幾分?)

17.搬運1000只玻璃瓶，規定搬一只可得搬運費3角，但打碎一個要賠5

角，如果運完后共得運費260元，問搬運過程中打碎了幾只?(假設法)

18.有一條2000米的公路，在路兩邊每相隔50米設一根路燈桿，從頭到尾需要設路燈桿多少根?

19.某校同學排隊上操，如果每行站9人，則多37人；如果每行站12人，則少20人。一共有多少學生?

21.甲乙兩數之差是16.65，如果將乙數的小數點向右移動一位就與甲數相等，求甲、乙兩數。

【生活數學】

1.超市到飼養場一共收購100只雞和兔，依照顧客的口味，確定雞腳比兔腳多80只。問如果你是采購員必需收購多少只雞和兔?

2.六年級舉行數學競賽，一共出了10道題，答對一題10分，答錯一題反

扣5分，張華得了70分，他答對了幾道題?

八、可能性

【知識概述】

“可能性”是新課標中新增設的一個內容，屬于統計與概率的范疇。它涉及對事件“一定”、“可能”和“不可能”發生現象的認識與判斷，使學生進一步明白事件的發生有的是確定的，有的是隨機的、不確定的；事件發生的可能性是有大小的，可以用分數來表示；根據事件發生的可能性的大小可以設計和判斷游戲規則的公平性，解決有關的實際問題。這一內容的學習是在學生初步認識了確定性事件和不確定現象，知道在確定的事件里，事情一定發生或者不可能發生；在不確定事件里，事情有可能發生，也可能不發生。而且，有些事情發生的可能性大，有些事情發生的可能性小。在這些知識和經驗的基礎上，本單元繼續教學可能性，用分數表示事情發生的可能性有多大。從感性描述可能性到定量刻畫可能性，對可能性的體驗深入了一步。

【思維訓練】

例1.袋里有大小相同的6個球，1個紅球，2個白球，3個黃球，從袋中任意摸出一個球。

(1)摸出什么顏色的球的可能性最大，是多少?

(2)摸出什么顏色的球的可能性最小，是多少?

(3)摸出不是紅球的可能性是多少?

[思路點撥]

首先要算出一共有多少個球?哪種顏色的球的個數最多，哪種球的個數最少，在總數中占幾分之幾就是這種球的可能性。比較這幾個分數的大小就可以知道摸到哪種球的可能性最大或最小了。

[試一試]

1.盒子中裝有3個紅色的小正方體，4個黃色小正方體。從中任意摸出1個正方體。小芳和小豪約定，摸出紅正方體，小芳贏；摸出黃正方體，小豪贏。想一想，誰贏的可能性大些?

2.盒子裝有15個球，分別寫著1—15各數。如果摸到是2的倍數，小剛贏，如果摸到不是2的倍數，小強贏。

(1)這樣約定公平嗎?為什么?

(2)小強一定會輸嗎?

(3)你能設計一個公平的規則嗎?

例2.兩個正方體六個面上均標上1～6的數字，同時拋起，落下后，朝上的兩個面上數字可能出現哪些不同的結果?請用列表的方法，列舉出所有不同的可能情況。再算出兩個朝上面的和是12的可能性有多大?和是8的可能性有多大?

[思路點撥]

此題一共有6×6=36種情況，要想算出和為12的可能性有多大，則必須知道出現和為12的可能情況有幾種?列舉后只有一種可能就是6+6=12故可能性為1，而和為8的可能情況則有2+6=6+2=3+5=5+3=4+4共有5種情況，故可能性36

為5。 36

[試一試]

1.兩個正方體六個面上均標上1～6的數字，同時拋起，落下后，朝上的兩個面上數的和是6的可能性有多大?和是9的可能性有多大?

2.兩個正方體六個面上均標上1～6的數字，同時拋起，落下后，朝上的兩個面上數的差是1的可能性有多大?商是3的可能性有多大?

[想想做做]

1.桌子有三張卡片，分別寫著7、8、9。如果擺出的三位數是單數小強贏，如果擺出的三位數是雙數，小麗贏，想一想，誰贏的可能性大些?這樣公平嗎?

2.某商品舉行促銷活動，前100名的購買者可以抽獎，一等獎20個，二等獎30個，三等獎50個。

(1)這次抽獎活動，中獎的可能性是( )

(2)第一個人抽獎中一等獎可能性是( )，中二等獎的可能性是( )，中三等獎的可能性是( )。

(3)抽獎到一半，已經有8人中一等獎，15人中二等獎，24人中三等獎。李明第51個抽獎，中一等獎的可能性是( )，中二等獎的可能性是( )，中三等獎的可能性是( )。

3.學校進行跳高比賽，參加決賽的有A、B、c、D、E、F六個人，對于誰是冠軍，看臺上甲、乙、丙、丁四人猜測如下；甲說：冠軍不是A，就是B；乙說：冠軍絕不是C；丙說：D、E、F都不可能是冠軍；丁說：冠軍可能是D、E、F中的一個。比賽時發現：這四個人中只有一人的猜測是正確的。請你判定，冠軍到底是誰?

練習八

1.將一個小立方體的三個面涂上紅色，兩個面涂上藍色，一個面涂上黃色，如果任意拋起來30次，落地后藍色向上的可能性占

( )。 ( )( )如果任意拋起來200( )次，紅色向上的可能性最接近

2.七年級一班將競選出正、副班長各1名，現有甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生參加競選，則男生當選正班長的可能性是( )。

3.魚塘里養了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記后放回魚塘，數日后再捕上100尾，發現有標記的魚為5尾，則魚塘里大約有多少尾魚?

4.小明和小順同時各擲一個骰子。

(1)朝上的兩個數的和是3的可能性是( )

(2)朝上的兩個數的和是7的可能性是( )

(3)朝上的兩個數的和小于7的可能性是( )

(4)朝上的兩個數的和是12的可能性是( )

(5)朝上的兩個數的和是3的倍數的可能性是( )

(6)朝上的兩個數的和是8小明贏、朝上的兩個數的和是9小順贏，誰贏的可能性大?請你結合生活實際，確定一個游戲，并制定一個公平的游戲規則。

九、認識百分數

【思維訓練】

例1.小明的爸爸平時喜歡喝一點酒，當他喝下三大杯啤酒后安然無恙，可喝了一大杯茅臺，就醉意朦朧。你知道這是為什么嗎?

[思路點撥]

青島啤酒的酒精濃度6％，茅臺的酒精濃度為53％。

[試一試]

只要同學們互相幫助，共同進步，這個單元考試的及格率一定能達到100％。這里的100％，一定是指有100名學生參加考試，100人及格嗎?

例2.百分數與分數的區別。

你認為下面兩個分數可以用百分數來表示嗎?說說你的想法。

71①海洋面積大約占地球總面積的。 100

3②蜂鳥的體重約為千克。 100

[思路點撥]

分數可以表示一個具體數量，可帶單位名稱。百分數不能表示具體量，不能帶單位名稱，只表示一個數是另一個數的幾(百)分之幾。

[試一試]

1.下面哪幾個分數可以用百分數表示？哪幾個不能?說說為什么。

A.一堆煤

9750噸，運走了它的。 100200

B.

234675米相當于米的。 100100100

2.判斷： (1)一段路程長

29

千米。( )。 100

(2)一段繩長29％米。( )。

(3)最小的百分數是1％，最大的百分數是100％。( )。 例3.我來選百分數

120％ 45％ 98％ 0.01％ 100％ 55％

(1)小明的爸爸是著名的牙科醫生，經他治療的病人的治愈率達( )。 (2)本節課陳老師希望同學們( )的掌握百分數的知識。 (3)一本書已經看了( )，還剩下全書的( )。

本題在思考時要聯系實際，抓住關鍵詞，如第1題中的“著名”一詞，依據題意則應選98％或100％。

[試一試]

1.選擇合適的百分數填空。

0％ 50％ 6％ 120％ 100％ 0.1％

(1)淮師一附小的學生每月所用零花錢占學校買圖書錢數的50%，開展節約活動后，明顯減少，現在只占( )。

(2)小汽車的速度是卡車速度的( )。 (3)你認為海底撈針的可能性是( )。

2、成語練習：你能用百分數表示下面成語的意思嗎? 十全十美 十拿九穩 百里挑一 百發百中

11

例4.把1，1，1.25％和0.99這四個數按從小到大的順序排列。

56[思路點撥]

為了便于比較，可以把這些數先統一化成百分數，然后再比較大。 11

1=120％，1≈116.7％，0.99=99％，因為99％<1116.7％<120％<125％，5611

所以0.99<1％。

65

[試一試]

把下面各列數按從小到大的順序排列起來。

··3

(1)0.31，，30.6％，0.30。

10

··27

(2)，，O.87，O.87，85％。 38

···6672

(3)1，，1.67，1.67，167％。

10003

例5.一個鄉去年汁劃造林12公頃，實際造林14公頃。實際造林是原計劃的百分之幾?實際造林比原計劃多百分之幾?

[思路點撥]

根據題意可以知道原計劃造林面積是單位“1”的量，求“實際造林是原計劃的百分之幾?”就是求14是12的百分之幾；求“實際造林比原計劃多百分之幾?”就是求14與12的差是12的百分之幾。

完全解答：

[試一試]

1.六年級兩個班舉行拔河比賽，一班有50人，二班有48人。每班各選派10名男生和10名女生參加。(百分號前保留一位小數)

(1)一班和二班參加拔河比賽的人數分別占本班總人數的百分之幾?

(2)參加拔河比賽的人數占六年級總人數的百分之幾?

(3)你還能提出什么問題?

2.某件商品按原價六折賣出是18元，虧2元。如果按原價賣出可以賺( )％。

3.一種音響，如果打九折出售，可盈利240元，如果打七折出售，則會虧本120元，該件音響的進價是多少元?

例6.某縣種子推廣站，用3 0 0粒玉米種子作發芽試驗，結果有2 8 8粒發芽，求發芽種子數占試驗種子總數的百分之幾?(發芽率)

[思路點撥]

這道題要求的是誰占誰的百分之幾，也就是求百分率，這個百分率是表示發芽情況的百分率，我們叫它發芽率，那這道題的問題就變成了求發芽率，發芽率=發芽種子數÷試驗種子總數×100％。

[試一試]

1.現場請學生調查近視情況，計算出近視率，然后再談一談有什么想法或建議?

2.課后調查，填表：

例7.種子發芽率最高是多少呢?最低是多少呢? [思路點撥]

發芽率最高是100％，最低是O％。如果用10粒種子作發芽試驗，全部發芽，那發芽率是100％。都沒有發芽，那發芽率是O％，0％也就是0。

[試一試] 判斷：

1.98件產品樣樣合格，合格率是98％。( )

2.百分率實際上就是表示求一個數是另一個數的百分之幾的數。( )。 3.六(2)班今天的出勤率比六一班高，那么六(2)比六(1)人數多。( )。 練習九 一、填空。

1

1.一瓶油重千克，用去25％，用去( )千克。

2

2.一根木料用去40％后，還剩下1.5米，這根木料原來長( )米。

3.甲乙兩數比是5：3，乙數比甲數少( )％，乙數占兩數和的( )％。

4.往30千克鹽中加入( )千克水，可得到含鹽率為30％的鹽水。

5.甲加工一個零件用133乙加工一個零件用如果二人同時a-3a-3

加工一批零件，( )加工的零件數量多。(其中a大于3)

6.在含鹽30％的鹽水中，加入6克鹽14克水，這時鹽水含鹽百分比是

( )。

7.完成一項工程，原米計劃要1()天，實際每天的工作效率提高25％，實際用( )天可以完成這項工程。

8.六一班今天出勤47人，事假1人，病假2人，出勤率是( )％。

二、判斷下面的說法是否正確。

1.甲數是乙數的125％，那么乙數是甲數的80％ ( )

2.在20個學生中有10個女生，女生占總人數的5％。 ( )

3.一批零件的合格率為85％，那么這批零件的不合格率一定是15％。( )

4.甲、乙兩班今天的出勤率都是98％，那么甲、乙兩班今天出勤人數相同。

( )

5.在含鹽率10％的鹽水中，加入10克鹽和10克水后，鹽水的含鹽率仍是10％。 ( )

6.一種藥水，水和藥的比是1：20，水占藥水的5％。 ( )

三、選擇正確答案的序號填空。

1.一種自行車原來售價160元，調價到480元，求調高了幾分之幾的式子是( )。

①160÷480 ②(480-160)÷480 ③(480-160)÷160

2.玩具商店有兩件不同的玩具售價都是120元，一件可賺25％，另一件賠25％。如果同時出售這兩件玩具，算下來是( )。

①賠了16元 ②賺了16元 ③不賠也不賺

3.求7m比4m多百分之幾，正確列式是( )。

①(7-4)÷7 ②(7-4)÷4 ③1-4÷7④7÷4-1

4.設x和y都是自然數，若x的45％與y的45％相等，那么( )。 ①x>y ②x<y ③x=y

5.一根繩子，截去20％以后，再接上6m，結果比原來的繩子長1.5m，這根繩子原來長為( )米。

①22.5 ②30 ③37.5

四、實踐與應用。

1.某工廠有一批煤，原計劃每天燒O.25噸，可燒100天，實際每天燒煤比原計劃節約20％，實際可以燒多少天?

2.一種報紙，如果一個月一訂，沒有優惠，需10元。如果一年一訂，可優惠10％，這樣訂閱一年需要多少錢?

3.電視機廠去年生產29寸彩電3.5萬臺，29寸彩電臺數的30％正好是34

1寸彩電臺數的，生產34寸彩電多少萬臺? 4

4.校辦廠生產塑料盒，已經完成原計劃的85％，如果再生產3000個，就超

過計劃15％。原計劃生產多少個塑料盒?

5.一塊合金含銅與鋅比為3：4，用此合金制造銅、鋅之比為1：2的新合金63克，問要加銅還是加鋅，加多少克?

6.造紙廠2007年前7個月完成全年計劃的75％，后5個月再生產1800噸就可以超過計劃300噸，2007年計劃生產多少噸?

【知識鏈接】

在報紙雜志、廣播電視和日常生活中，經常用到百分點。百分點是指不同時期以百分數形式表示的相對指標的變動幅度。例如，2006年第一季度我國的國內生產總值比2005年第一季度增長10.2％，而2005年第一季度比2004年第一季度增長9.9％。雖然這兩個百分率的單位“1”不同，但是在比較增長速度時。可以用10.2-9.9，得0.3個百分點，說成2006年第一季度國內生產總值增長比上一年同期提高0.3個百分點。

有時我們還會看到象"-2.5％”這樣的百分數。例如，我國2005年的甘蔗產量比2004年提高-2.5％，表示2005年的甘蔗產量實際比2004年下降了

2.5％。這種結果也叫負增長。

在農業生產中，糧食、棉花、蔬菜等農作物的收成，常用“成數”來表示。“一成”就是十分之一，改寫成百分數是10％。“二成”就是十分之二，改寫

成百分數是20％??。“三五成”就是十分之三點五，改寫成百分數是35％。

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