第 07 講 求解 Ax=0 :主變量，特解
矩陣的秩Rank(A)：矩陣主元的個數。
找出“主變量”pivotvariables，主列，即主元所在的列，其他列，稱為自由列。（自由列表示可以自由或任意分配數值，列2和列4的數值是任意的，因此x2和x4是任意的，可以自由取）。
算法整理：
消元后矩陣U的秩Rank(A)=r，表示主變量的個數，主元的個數，表示只有r個方程起作用，那么自由變量的個數即n-r個（對于矩陣m×n，n列對應n個未知數），令自由變量取1,0值就能得到特解，所有的特解構成了零空間的基，特解的線性組合即構成了整個零空間。
簡化行階梯形式
R=簡化行階梯形式reducedrowechelonform（rref）：主元上下都是0，主元變為1
它以最簡的形式包含了所有信息：1）主行（行一，行二）；
2）主列（列一，列三），自由列，主元；
3）一個單位陣，主元上下均為0，而且主元為1，單位陣位于主列和主行的交匯處。以上是一個2×2的單位陣；
4）一個全為0的行，全為0的行總表示，該行的原行是其他行的線性組合；5）從Ax=0變為Ux=0再變為Rx=0的解，解更明了
將以上矩陣R中的主元列和自由列分別放在一起形成單位矩陣I和自由列矩陣F，對于特解結果，自由列中數字的相反數即特解中的主元值，如下圖左邊的解和右邊的I與F
第 08 講 求解 Ax=b：可解性與結構
若 Ax=b 有解，則 b3-b1-b2=0
Ax=b可解性Solvability：有解時右側向量b須滿足的條件
1）有解，僅當b屬于A的列空間時成立，即，b必須是A的各列的線性組合
2）行的線性組合如果得到零行，那么b中元素的同樣組合必然也是零。這兩種描述是等價的！他們同樣是描述方程組有解的條件。
把所有這些解在四維空間中都畫出來，想象一下，Xp是一個非原點的點，Xn是一個穿過原點的平面，那么Xp+Xn是兩者的組合，是一個不經過原點的經過Xp的二維平面，注意它不是子空間。
第 09 講 線性相關性、基、維數
基
向量空間的一組基是指：一系列的向量，v1,v2...vd，這些向量具有兩大性質：1）他們是線性無關的，可逆；2）他們生成整個空間
這些基有一個共同的特點，即對于給定N維空間，那么基向量的個數就是N個（即不管是3維空間，列空間，還是零空間，空間中任意基都滿足：基向量的個數相等）。
維數
維數，即基向量的個數，空間的大小(維數)
比如上面這個列向量，他們能生成列空間，但這些列向量不是基，但我們可以得到第一列和第二列是列空間的一組基，2是基的維數。
即上面：矩陣的秩Rank(A)=2為列空間的維數（注意不是矩陣A的維數，是A的列空間的維數，同樣，不能說子空間的秩，矩陣才有秩）。
零空間的維數是自由變量的數目。已知矩陣Am×n，秩為r，那么自由變量為n-r，即dim(N(A))=n-r
第 10 講 四個基本子空間
維數問題
列空間：
A的主列就是列空間的一組基，dim(C(A))=Rank(A)=r，維數就是秩的大小行空間：有一個重要的性質：行空間和列空間維數相同，都等于秩的大小
零空間：
一組基就是一組特殊解，r是主變量的個數，n-r是自由變量的個數，零空間的維數等于n-r左零空間：維數為m-r。
n維空間中存在兩個子空間，一個r維的行空間，一個n-r維的零空間，維數和為n。和另一個結論相似：r個主變量，n-r個是自由變量，加起來是n。
m維空間中存在兩個子空間，一個r維的列空間，一個m-r維的左零空間，維數和為m。
左零空間的基
基的問題
- 列空間：主列組合就是一組基
- 零空間：一組特殊解就是一組基
- 行空間：通過初等行變換變換成行最簡式，行空間的一組基即是行最簡形R的前r(秩數)行。（行變換不會對行空間產生影響，但會對列空間產生影響。）
新向量空間
所有3*3矩陣構成的集合是一個向量空間，符合對于現行運算的封閉，稱之為M
M的子空間包括：
- 所有上三角陣
- 所有對稱陣
- 所有對角陣
對角陣是前兩個子空間的交集，維數為3，具有以下一組基：
第 11 講 矩陣空間、秩1矩陣和小世界圖
3×3的所有矩陣，它的維數是9，一組基是：
秩1矩陣
回到重點，矩陣的關鍵數字——矩陣的秩，秩為1的矩陣
所有秩1的矩陣都可表示為一列乘以一行的形式：A=UVT，U是列向量，V也是列向量
秩1矩陣可以就像搭建其他矩陣的積木一樣，如果有5×17的矩陣，秩為4，可以把這5×17的矩陣分解為4個秩1矩陣的組合。
兩個矩陣之和的秩小于等于兩個矩陣的秩之和
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