IT工程師數位筆記本

利用托勒密定理解競賽題

托勒密定理是平面幾何中的一個重要定理，它揭示了圓內接四邊形的對角線與邊的關系。本文通過近年來的各類競賽題，闡述其重要作用。

一、托勒密定理及其逆定理

1．托勒密定理：圓內接四邊形兩組對邊乘積之和，等于兩條對角線的乘積。

已知：四邊形ABCD內接于圓，如圖，求證：AB·CD+BC·AD=AC·BD

證明：在∠BAD內作∠BAE=∠CAD，交BD于E。因∠ABE=∠ACD，所以△ABE∽△ACD，從而AB·CD =AC·BE ①；易證△ADE∽△ACB，所以BC·AD=AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD。

2．托勒密定理的逆定理：如果凸四邊形兩組對邊的積的和，等于兩對角線的積，此四邊形必內接于圓。

已知四邊形ABCD滿足AB·CD+BC·AD=AC·BD，求證：A、B、C、D四點共圓。

證明：構造相似三角形，即取點E，使∠BCE=∠ACD，且∠CBE=∠CAD，則△CBE∽△CAD。所以BC·AD=AC·BE ①；又，∠BCA=∠ECD，所以△BCA∽△ECD。AB·CD =AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE）。顯然有BE+DE≥DB。于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB。等號當且僅當E在BD上成立，結合已知條件得到此時等號成立，這時∠CBD=∠CAD，即A、B、C、D四點共圓。

由上述證明，我們得到：

3．托勒密定理的推廣：在四邊形ABCD中，恒有AB·CD+BC·AD≥AC·DB，當且僅當四邊形ABCD內接于圓時等號成立。

二、應用

托勒密定理以其簡介而優美的形式著稱，在有關圓內接四邊形問題及證四點共圓時有其獨特的功效。

（1）證線段的和、差關系。

例1．在△ABC中，AB<AC<BC，D點在BC上，E點在BA的延長線上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圓與△ABC的外接圓交于F點，求證：BF=AF+CF。

證明：連接EF，DF，因∠ACF=∠ABF=∠EDF，∠DEF=∠FBD=∠CAF，所以△AFC∽△EFD。于是，即EF=m·AF，DE=m·AC，DF=m·CF。由托勒密定理知DF·DE=BD·EF+BE·DF。又AC=BE=BD，分別代入上式，故BF=AF+CF。

（2）求最值

例2.已知圓周被其上二定點A、B（A≠B）分成兩端狐，試指出弧上的動點P在其中指定一段弧的哪個位置時，PA+PB取最大值？證明你的結論并求出這個最大值。

證明：取劣弧AB的中點C（C與P在AB兩側），由托勒密定理知AC·PB+BC·PA=AB·PC。因AC=BC，所以AC（PB+PA）=PC·AB，即PB+PA=·PC。

顯然AB，AC均為定值，只需PC最大，因C為定點，必然PC為最大弦，即PC為直徑時，PB+PA取最大值，于是PA=PB，PB+PA=·2R。若記∠APB=α，易知PA+PB的最大值。

（3）證四點共圓

例3．已知D為正△ABC。的∠ABC內一點，且DA=DB+DC，求證：A，B，C，D四點共圓。

證明：由△ABC為正三角形，得AB=BC=CA。因DA=DB+DC，所以BC·AD=BC·DB+BC·DC=AC·DB+AB·DC，由托勒密逆定理得A，B，C，D四點共圓。

（4）解方程

例4．若a≥b≥c＞0，且a＜b+c，解方程。

解：由題意得以a，b，c為邊可作一個三角形，如圖所示。設AB=c，BC=a，CA=b。分別作AC、AB的垂線，它們交于D點，于是ABDC內接于圓。由托勒密定理得AC·BD+AB·CD=AD·BC，即所以原方程與上式同解，只需求AD。

在△ABC中，，，而，其中，∴為原方程的根。

（5）證定值問題

例5．如圖，圓O外接于正方形ABCD，P為弧AD上的任意一點，求證為定值。

證明：連PC，PA，設正方形邊長為a，由托勒密定理得AC·PB=AP·BC+AB·PC，即·PB=a·AP+a·PC，∴。

（6）證不等關系

例6．設，是同心圓，的半徑是半徑的2倍，四邊形內接于，將延長交圓于，延長交圓于，交圓于，延長交圓于，試證：四邊形的周長≥2×四邊形的周長，并請確定等號成立的條件。

證明：在四邊形中，由托勒密定理的推廣，得≥。

因，于是≥。①

同理≥。②

≥。③

≥。④

相加，得≥

①式等號成立當且僅當內接于圓成立，可得，同理有，，即是正方形，從而為正方形。