原卷道題均為不定項選擇題．這里收錄的是回憶版試題，故將部分選擇題改編為填空題．
1．已知函數
有最小值，則函數
的零點個數為（ ）
A．
B．
C．
D．取決于
的值
2．已知
的三個角
所對的邊分別為
．下列條件中，能使得的形狀唯一確定的有（ ）
A．
B．
，
C．
，
D．
3．已知函數
，
．下列說法中正確的有（ ）
A．
與
在點
處有公切線
B．存在的某條切線與的某條切線互相平行
C．與有且只有一個交點
D．與有且只有兩個交點
4．過拋物線
的焦點
作直線交拋物線于
兩點，
為線段
的中點．下列說法中正確的有（ ）
A．以線段為直徑的圓與直線
一定相離
B．
的最小值為
C．的最小值為
D．以線段
為直徑的圓與
軸一定相切
5．已知
是橢圓
的左、右焦點，
是橢圓
上一點．下列說法中正確的有（ ）
A．
時，滿足
的點有個
B．
時，滿足的點有個
C．
的周長小于
D．的面積小于等于
6．甲、乙、丙、丁四個人參加比賽，有兩人獲獎．比賽結果揭曉之前，四個人作了如下猜測．
甲：兩名獲獎者在乙、丙、丁中；
乙：我沒有獲獎，丙獲獎了；
丙：甲、丁中有且只有一人獲獎；
丁：乙說得對．
已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎者是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．已知為圓
的一條弦（非直徑），
于．為圓上任意一點，直線
與直線
相交于點，直線
與直線相交于點
．以下說法正確的有（ ）
A．
四點共圓
B．
四點共圓
C．
四點共圓
D．前三個選項都不對
8．
是為銳角三角形的（ ）
A．充分非必要條件
B．必要非充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
9．已知
為正整數，
，那么方程
的解的組數為（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合
，任取
，
這三個式子中至少有一個成立，則
的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，
，
，則下列各式中成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知實數滿足
，則
的最大值與最小值乘積屬于區間（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知
，滿足
，則下列結論正確的有（ ）
A．
的最大值為
B．的最小值為
C．
的最大值為
D．的最小值為
14．數列
滿足
．對任意正整數，以下說法中正確的有（ ）
A．
為定值
B．
或
C．
為完全平方數
D．
為完全平方數
15．若復數滿足
，則
可以取到的值有（ ）
A．
B．
C．
D．
16．從正
邊形的頂點中任取若干個，順次相連構成多邊形，其中正多邊形的個數為（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知橢圓
與直線
，
，過橢圓上一點作
的平行線，分別交于
兩點．若
為定值，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．關于
的不定方程
的正整數解的組數為（ ）
A．
B．
C．
D．
19．因為實數的乘法滿足交換律與結合律，所以若干個實數相乘的時候，可以有不同的次序．例如，三個實數相乘的時候，可以有
等等不同的次序．記個實數相乘時不同的次序有
種，則（ ）
A．
B．
C．
D．
20．甲乙丙丁個人進行網球淘汰賽，規定首先甲乙一組、丙丁一組進行比賽，兩組的勝者爭奪冠軍．個人相互比賽時的勝率如下表所示：
表中的每個數字表示其所在行的選手擊敗其所在列的選手的概率，例如甲擊敗乙的概率是
，乙擊敗丁的概率是
．那么甲贏得冠軍的概率是________．
21．在正三棱錐
中，的邊長為．設點到平面
的距離為
，異面直線與
的距離為，則
________．
22．如圖，正方體 24．實數 25． 26． 27．已知復數 28．已知 29．若 30．將 31． 1．C． 注意 2．AD． 對于選項A，由于 3．BD．
的棱長為，中心為，
，
，則四面體
的體積為________．
23．
________．滿足
，則
的最大值為________．均為非負實數，滿足
，則
的最大值為________，最小值為________．為內一點，滿足
．設
，則
________．
，則
________．為非零復數，
和
的實部和虛部均為不小于的正數，則在復平面中，所對應的向量
的端點運動所形成的圖形面積為________．
，則
個數：個，個，個，個填入一個
的數表中，要求每行、每列都恰好有兩個偶數，共有________種填法．
是集合
的子集，從中任取個元素，由小到大排列之后都不能構成等差數列，則中元素個數的最大值為________．答案及解析
． 
，于是
有唯一取值，符合題意；
對于選項B，根據正弦定理，有
于是可得
，
，無解；
對于選項C，條件即
于是
，不符合題意；
對于選項D，根據正弦定理，有
，又
，于是
，
，符合題意．
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為函數
4．AB．
的距離為
于是以線段
，則
，于是
最小值為
中點的橫坐標與
不一定相等，因此命題錯誤．
最大的點
的周長為
；
對于選項A，
即得；
為直徑，必然有
為直角，不符合題意；
即得．
類似的，有
，
，于是
不充分性：
，
時，不等式成立，而
，故
．
，則
，即
，解得
，則
，即
，解得
，則
，此時有
于是
，從而
，進而解得
，則
，即
，解得
．若集合
和
均大于
，于是有
所以
，矛盾．所以集合
，滿足題意，所以
，
，
，則
以上三式相加，即有
以上三式相加，即有
的圖象，則其導函數
作出函數
處的切線
以及函數
和
的割線
如圖．
于是可得
左側等號當
或
時取得；右側等號當
，當
時取得；最小值為
，當
，
時取得．從而原式最大值與最小值的乘積為
．
．設
，則
的方程
的三個實根．令
，利用導數可得
所以
，等號顯然可以取到．故選項A，B都對．因為
所以
，等號顯然可以取到．故選項C錯，選項D對．
所以A正確．
，故
，
，故C, D正確．
，則
故
，等號分別當
和
時取得．
，其余的約數均可作為正多邊形的邊數．設從
個構成正多邊形，這樣的正多邊形有
個，因此所求的正多邊形的個數就是
．考慮到
，因此所求正多邊形的個數為
，可得
故
為定值，所以
故
．
，則
；
的軌跡為圓或者橢圓．
．因為
，故
，所以
故
所以
，則
解得
即
關于卡特蘭數的相關知識見
．
．
時，
．
．如圖．
有
于是
，等號當
時取得，因此所求的最大值為
，
．
時，
于是
解得
于是
時取得，為
．
．
．
，其中
．由于
，于是
如圖．
弓形面積為
四邊形
的面積為
于是所求面積為
．
．
種選擇，下面考慮這兩個偶數所在的列，每列還需再填一個偶數，設為
．
因此總的填法數位
，其中
，
．不妨假設
．
，由題意，
，
，且
，故
同理，
，又因為
，所以
，矛盾．故
．
，滿足題意．
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